Matematikus MSc - felvételi tájékoztató


A matematikus MSc program célja olyan szakemberek képzése, akik képesek önálló matematikai kutatásokra, s diplomaszerzésük után aktívan részt tudnak vállalni a magyarországi fejlesztő-, illetve kutatóintézetek munkájában, valamint a matematika felsőoktatási szintű tanításában. A képzés arra is alkalmassá teszi a jelölteket, hogy a matematika gyakorlati alkalmazásaiba is bekapcsolódhassanak.

A képzésre előfeltétel nélkül jelentkezhetnek mindazok, akik valamelyik akkreditált magyarországi felsőoktatási intézmény BSc programjának bármely matematika alapszakát elvégezték (illetve akik BSc-s tanulmányaikat az MSc képzés kezdetéig várhatólag befejezik). Jelentkezhetnek továbbá olyanok, is, akik a természettudományos, a műszaki, valamint az informatika képzés bármely alapszakát, illetve a gazdaságtudományok képzési területéről a közgazdasági képzési ág gazdaságelemzés alapképzési szakát végezték el (ill. itt fejezik be tanulmányaikat az MSc képzés megkezdéséig), és BSc tanulmányaik során matematikai tárgyakból legalább 65 kreditet teljesítettek. (Azoknak, akik ennél kevesebb, de legalább 50 matematikai kreditet teljesítettek, a 65-höz hiányzó krediteket a mesterfokozat megszerzésére irányuló képzéssel párhuzamosan, a felvételtől számított két féléven belül, a tanulmányi és vizsgaszabályzatban meghatározottak szerint meg kell szerezni.)

A jelentkezetteket az egyetem rangsorolja, s a rangsor, valamint a rendelkezésre álló keretszámok alapján dönt a fölvételükről. A rangsor alapjául szolgáló pontszám két egyenlő összetevőből áll:

A hozott pontokat 80%-ban a BSc-képzés során szerzett osztályzatok kreditértékekkel súlyozott átlaga, 20%-ban pedig a BSc-képzés záróvizsgájának eredménye szolgáltatja. A szerzett pontok odaítéléséről a fölvételi vizsgabizottság dönt a fölvételi vizsga eredménye alapján. A föntieken kívül többletpontokat lehet szerezni kimagasló tanulmányi szereplésért (publikációk, versenyeredmények, TDK-munka), illetve a törvény által meghatározott egyéb körülmények fönnállása (pl. hátrányos helyzet) esetén.

A fölvételi vizsga szóbeli, s az egyetem által meghirdetett időpontban (alapvetően a nyár eleji vizsgaidőszak végén) kerül rá sor, a jelentkezők számától függően egy vagy több napon. Egy-egy vizsga várhatóan 15–30 percig tart, s tipikusan a BSc-s szakdolgozat ismertetéséből és/vagy egy szakmai kérdésre adott válasz bizottság előtti ismertetéséből áll. A lehetséges szakmai vizsgakérdések témáinak a listája (megegyezik az ELTE BSc-képzésén a matematikus szakirány záróvizsgájának kérdéseivel):

  1. Véges matematika.

  2. Számítástudomány és matematikai alapjai.

  3. Számelmélet.

  4. Elemi és lineáris algebra.

  5. Absztrakt algebra.

  6. Euklideszi es konvex geometria.

  7. Projektív es hiperbolikus geometria.

  8. Görbe- es felületelmélet euklideszi terekben.

  9. Az analízis alapjai.

  10. Egyváltozós differenciál- és integrálszámítás.

  11. Többváltozós analízis.

  12. Mértékelmélet.

  13. Komplex függvénytan.

  14. Topológia.

  15. Differenciálegyenletek.

  16. Funkcionálanalízis.

  17. Operációkutatás.

  18. Valószínűségszámítás.

  19. Matematikai statisztika.

A jelölt a szóbeli vizsga napján, a vizsga megkezdése előtt a fentiek közül megjelölhet 12 kérdéscsoportot , s vizsgakérdését csak ezekből a választott témakörökből kaphatja. A vizsgán elsősorban az alapvető eredmények és összefüggések ismeretén, a témakörben való jártasság bemutatásán van a hangsúly, s a bizottság nem várja el a jelölttől pl. a bizonyításoknak részletekbe menő ismertetését.

Útmutatás a felvételi vizsgára való fölkészüléshez

A vizsgákon a bizottság célja, hogy képet nyerjen, illetve megbizonyosodjon a jelölt kutatásra való alkalmasságáról, illetve hogy sikeres vizsga esetén tájékoztatást adhasson az esetleges hiányosságokról, melyeket a mesterképzés első periódusában a jelöltnek célszerű pótolnia. Az egyes vizsgakérdéseknél – útmutatásul – az alábbi témaköröket javasoljuk átnézni, illetve a vizsgán ismertetni:


1. Véges matematika. Kombinatorikai alapfeladatok, rekurziók, szita. Gráfok: fák, színezések, síkbarajzolhatóság, párosítások. Ramsey- és Erdős–Szekeres-tételkör. Többszörös összefüggőség, folyamok. Extremális problémák, nevezetes algoritmusok.
2. Számítástudomány és matematikai alapjai. Számosságok. Axiómák, alefek. Jólrendezett halmazok, rendszámok, transzfinit indukció és rekurzió. Turing-gép. Kiszámíthatóság, nem kiszámítható problémák. P és NP. NP-teljesség, NP-teljes problémák. Véletlent használó algoritmusok, példák.
3. Számelmelet. Kitüntetett közös osztó és ideálok, irreducibilitás, prímtulajdonság. A számelmélet alaptétele gyűrűkben: polinomok, Gauss-egészek, algebrai számok. Számelméleti függvények. Kongruenciák, kvadratikus maradékok, csoportelméleti vonatkozások. A prímszámok eloszlása. Nevezetes számelméleti problémák, alkalmazások.
4. Elemi és lineáris algebra. Komplex számok, polinomok és gyökeik test fölött. Lineáris egyenletrendszer, determináns. Vektortér, függetlenség, dimenzió. Lineáris leképezések és mátrixaik. Sajátérték, diagonalizalhatóság, minimálpolinom. Kvadratikus alak, adjungált, az euklideszi terek speciális lineáris transzformációi.
5. Absztrakt algebra. Csoport, faktorcsoport, direkt szorzat. Mátrixcsoportok, permutációcsoportok, Abel-csoportok, p-csoportok, egyszerű csoportok, szabad csoportok. Testbővítések, véges testek, alkalmazások. Féligegyszerű gyűrűk.
6. Euklideszi es konvex geometria. Az egybevágósági transzformációk csoportja. Konvex halmazokra vonatkozó alaptételek, elválasztási tulajdonságok. Konvex politópok. Izoperimetrikus es izodiametrális egyenlőtlenség.
7. Projektív és hiperbolikus geometria. Projektív terek es projektív transzformációk. Kettősviszony. Az egyenes es a sík projektivitásai, involúciók. Nevezetes illeszkedési tételek. Másodrendű alakzatok. A geometria axiomatikus alapjai, a párhuzamossági axióma szerepe. A hiperbolikus sík és tér.
8. Görbe- és felületelmélet euklideszi terekben. Görbék görbületi függvényei, Frenet-formulák. Hiperfelületek parametérezése. Első alapforma, felszín. Normálgörbület, főgörbületek, Gauss-görbület. Geodetikusok.
9. Az analízis alapjai. A valós számok axiomatikus felépítése. Sorozatok határértéke, végtelen sorok. Függvénysorozatok és függvénysorok konvergenciája, differenciálása és integrálása. Hatványsorok. Taylor-sorok.
10. Egyváltozós differenciál- és integrálszámítás. Határérték, folytonos függvények. A differenciálhatóság fogalma, geometriai jelentése. Középértéktételek. Függvényvizsgálat, szélsőértékfeladatok. Elemi függvények. Riemann-integrál. Primitív függvény, Newton–Leibniz-formula. Az integrálszámítás alkalmazásai.
11. Többváltozós analízis. Többváltozós függvények differenciálszámítása. Szélsőértékszámítás. Az inverz és implicit függvények tételei. Többszörös integrál, vonalintegrál, felületi integrál. Divergencia és rotáció; integráltételek.
12. Mértékelmélet. Mérték. Lebesgue-mérték. Lebesgue- és Lebesgue–Stieltjes-integrál. Függvénysorozatok és függvénysorok integrálása. Integrálások sorrendjének felcserélése. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek.
13. Komplex függvénytan. Komplex értelemben vett differenciálhatóság. Vonalintegrál, Cauchy-integráltétel. Hatványsorba fejtés. Unicitástétel, lokális viselkedés, maximumelv. Laurent-sor. Izolált szingularitások. Reziduumtétel, argumentumelv. Reguláris függvények sorozatai. Lineáris törtfüggvények. Konform leképezések alaptétele. Egész függvények. Harmonikus függvények.
14. Topológia. Topologikus terek és folytonos leképezések. Homeomorfizmus, a homotopikus ekvivalencia fogalma. Összefüggő és útösszefüggő terek. Konstrukciók: szorzat, hányados topológiák. A fundamentális csoport. Felületek osztályozása. Lokális homeomorfizmusok felületek között.
15. Differenciálegyenletek. Egzisztencia- es unicitási tételek. Lineáris differenciálegyenletek megoldásainak létezése és előállítása. Stabilitási fogalmak, lineáris rendszer stabilitása. Disztribúciók, Szobolev-terek. Peremértékfeladat elliptikus egyenletekre, vegyes feladatok.
16. Funkcionálanalízis. Folytonos lineáris leképezések. Hahn-, Banach- és Banach–Steinhaus-tétel. Kompakt operátorok. Hilbert-terek: Riesz reprezentációs tétele, önadjungált operátorok, Fourier-sorok. Banach-algebrák.
17. Operációkutatás. A lineáris programozás alaptételei (Farkas-lemma, dualitástétel, korlátossági feltétel, szimplex algoritmus). Hálózati optimalizálás (maximális folyam, magyar módszer). TU mátrixok és alkalmazásaik.
18. Valószínűségszámítás. Valószínűségeloszlások, függetlenség. Valoszínűségi vátozók várható értéke, magasabb momentumok. Borel–Cantelli-lemmák. Nagy számok törvényei. Konvergenciafajták. Karakterisztikus függvény. Centrális határeloszlástetel. A feltételes eloszlás, a feltételes várható érték. Martingálok.
19. Matematikai statisztika. Tapasztalati becslések, Glivenko–Cantelli-tétel. Elégségesség, Fisher-féle információ. Pontbecslések és tulajdonságaik. Momentummódszer, maximum likelihood módszer. Bayes-becslés. Hipotézisvizsgálat. Normális eloszlás paramétereire vonatkozó próbák. Nem-paramétéres próbák.