Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Alkalmazott matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Algebra3-A

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

harmadik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

alkalmazott matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Kiss Emil, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematika Intézet

dr. Hermann Péter

egyetemi docens

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a klasszikus és lineáris algebra, valamint az elemi számelmélet ismeretét követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Bevezető Matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, valamint az Algebra2 és a Számelmélet1 tárgyak (bármelyik szintjének, de lehetőleg legalább a középszintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az euklideszi vektorterek lineáris transzformációinak, a gyűrű- és testelméletnek, és ezek egyes alkalmazásainak vázlatos bemutatása.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Bilineáris leképezések. Bilineáris leképezés vektortérpáron, ennek előírhatósága bázispáron.  Bilineáris függvény mátrixa, szimmetrikus bilineáris függvény. A bázistranszformáció képlete. Valós feletti kvadratikus alak, minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. Egy bilineáris függvény akkor és csak akkor diagonalizálható, ha szimmetrikus.  Ortogonalitás, a Gram-Schmidt ortogonalizáció. Sylvester tehetetlenségi tétele. A kvadratikus alak karaktere, ennek kapcsolata a főminorokkal (bizonyítás nélkül). Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle.

Euklideszi terek. Valós és komplex euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete.  Ortogonalizáció, ortogonális kiegészítő altér. Merőlegesség, hossz, szög, a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség (csak valósban bizonyítva), a háromszög-egyenlőtlenség.  Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.

Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel.  Komplex felett minden transzformáció alkalmas ortonormált bázisban felső háromszögmátrix. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzattartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak.

Egy valós feletti transzformáció pontosan akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus (főtengelytétel), és pontosan akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy −1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik.

Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális).  Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.

A Jordan-normálalakról szóló tétel bizonyítása polinommátrixok segítségével. A karakterisztikus mátrix normálalakjában az utolsó elem a minimálpolinom.  Következmény: a Cayley-Hamilton tétel. A blokkok méreteinek leolvasása a normálalakról.

Vektorterek tenzorszorzata, ennek univerzális tulajdonsága.  A tenzorszorzat és a diádfelbontás kapcsolata. Lineáris leképezések tenzorszorzata, mátrixok Kronecker-szorzata.

 

Gyűrűk. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Véges nullosztómentes gyűrű test. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű. Jobb és baloldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test.

Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel, és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes.

Partíció és ekvivalencia-reláció, kapcsolatuk. A hányadostest konstrukciója. Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.  Rendezett integritási tartomány, pozitivitástartomány és jellemzése, az elrendezhetőség feltétele. A kvaterniótest.  Frobenius tétele a valós feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (bizonyítás nélkül).  A Wedderburn-Artin tétel (bizonyítás nélkül).

 

Galois-elmélet. A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Elem minimálpolinomja, algebrai és transzcendens elemek. A minimálpolinom jellemzése az irreducibilitás segítségével. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete a transzcendens és az algebrai esetben. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű. Egyszerű testbővítés konstrukciója. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele.  Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, minden véges bővítés algebrai. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste, ez algebrailag zárt. Algebrailag zárt bővítés létezése általános test esetén (bizonyítás nélkül).

A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. A felbontási test egyértelmű. A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Tökéletes test véges bővítése egyszerű.  Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma.  A Galois-elmélet főtétele (bizonyítás nélkül). Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei.

A véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív).

A kódelmélet alapjai. Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság, perfekt kódok, lineáris kódok, polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra (csak vázlatosan).

Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.

Egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága (csak vázlatosan). Kapcsolat a Galois-csoport feloldhatóságával.  Az  x5−4x+2 polinom Galois-csoportja S5, és így nem oldható meg gyökjelekkel (bizonyítás nélkül). Az általános egyenlet Galois-csoportja a teljes szimmetrikus csoport. A legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

B. Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó, Szeged, 2005).

 

További irodalom:

Fried Ervin: Algebra I-II (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000).

Fuchs László: Algebra (ELTE egyetemi jegyzet).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet