Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Analízis 3 (alkalmazott matematikus szakirány)

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

harmadik

kollokvium + gyakorlati jegy

4+3

magyar

alkalmazott matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Sebestyén Zoltán, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

Szőke Róbert, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója: 

 

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Bátkai András

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Faragó István

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Fehér László

egy. adjunktus

Analízis Tanszék

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Mezei István

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Petruska György

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Pfeil Tamás

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz

Sigray István

szakt. oktató

Analízis Tanszék

Sikolya Eszter

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szőke Róbert

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Tóth Árpád

egyetemi docens

Analízis Tanszék

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az analízis2 és algebra2 tantárgy ismeretét feltételezi, lehetőleg legalább középszinten.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a többváltozós matematikai analízis legfontosabb fejezeteinek (topológiai fogalmak, folytonosság, differenciálhatóság, Jordan-mérték és Riemann-integrál, vonalintegrál, vektoranalízis) bemutatása. 

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Konvergencia és topologikus alapfogalmak (belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont, izolált pont, nyílt halmaz, zárt halmaz, kompakt halmaz) euklideszi terekben.

 

Többváltozós függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Átviteli elvek. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.

 

Iránymenti és parciális deriváltak, Jacobi-mátrix. A gradiens. Érintősík. Lagrange-féle középértéktétel. A Lagrange-féle becslés leképezésekre. A differenciálhatóság szükséges és elégséges feltételei. Szélsőérték-keresés kompakt halmazon értelmezett függvényekre. n-szer differenciálható leképezések. Taylor-polinomok és differenciálok. A Young-tétel. A Taylor-formula. Lokális szélsőérték szükséges, ill. elégséges feltételei. Az inverz leképezés deriváltja, inverzfüggvénytétel. Az  implicit leképezés tétele (esetleg bizonyítás nélkül). Feltételes szélsőértékfeladat, Lagrange-féle multiplikátorszabály.

 

Görbék. Rektifikálhatóság, ívhossz, az ívhossz kiszámítására szolgáló formula.  A Riemann-Stieltjes-integrál.

 

 A Jordan-féle belső és külső mérték. A határ külső mértéke. Jordan-mérhető halmazok. A mérhetőség pontos feltétele. A konvex poliéderek és a normáltartományok mérhetősége. A parallelepipedonok térfogata. A Jordan-mérték egybevágóság-invarianciája.

 

A többszörös integrál. Definíció, alaptulajdonságok, az integrálhatóság ekvivalens feltételei. Folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Egy halmaz mérhetőségének és karakterisztikus függvénye integrálhatóságának ekvivalenciája. Folytonos függvénnyel való kompozíció integrálhatósága. A lebontási tétel. A Cavalieri-tétel.  Normáltartományok térfogata. A gömb térfogata. Mértéktranszformáció. Az integráltranszformáció (bizonyítás nélkül). A polárkoordinátás helyettesítés.

 

A vonalintegrál és kiszámítása. A Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének feltételei. Divergencia és rotáció; integráltételek (bizonyítás nélkül).

Paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 4 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 3 óra gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1978.

Petruska György:  Analízis I.-II. kötet (egyetemi jegyzet), ELTE Eötvös Kiadó, 1998.

Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I. kötet, Typotex Kiadó, 2003,

Császár Ákos: Valós analízis I.-II. kötet, Tankönyvkiadó, 1988.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta: 

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Szőke Róbert

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Matematikai Intézet

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék Matematikai Intézet