Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Funkcionálanalízis I, alapszint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

4

magyar

mat, alk.mat.

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Sebestyén Zoltán, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz

 

 

 

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

Analízis 4 félév, algebra 2 félév.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Analízis 4 félévi, algebra 2 félévi anyaga.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy bevezetést ad a lineáris funkcionálanalízis modern elméletébe. Ennek kapcsán mintegy szintézisét adja a valós és komplex függvénytan, az algebra, a mérték és integrálelméletben alapozásként megtanultaknak.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Hilbert terek: belső vagy skalár-szorzat, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség félskalár-szorzatra, l2L2– terek. Riesz-tétele merőleges komponensekre való felbontásra: altértől való távolság. Ortonormált rendszerekre Hilbert térben: általánosított Fourier-sorfejtés: Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, Hilbert terek izometrikus isomorfikus azonosítása. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert téren. Riesz reprezentációs tétele: folytonos lineáris funkcionálok előállítása.

Folytonos lineáris operátorok Hilbert téren: operátorok normája, numerikus sugara, adjungáltja, spektruma. Speciális operátorok: önadjungált, unitér, normális operátorok, ortogonális projekciók. Kompakt operátorok Hilbert-téren: Hilbert-Schmidt tétel normális kompakt, önadjungált kompakt operátorokra, mint a mátrixokra vonatkozó főtengely-tétel általánosítása.

Banach terek: altértől való távolság, Riesz-lemmája. Baire kategória tétele. Folytonos lineáris funkcionálok normált téren, Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Mazur-Orlicz tétel. Folytonos lineáris operátorok Banach téren: operátorok adjungáltja, spektruma, Neumann sor. Banach-Steinhaus tételek: egyenletes korlátosság és pontonkénti konvergencia tétele. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele. Kompakt operátorok Hilbert téren: Riesz-Fredholm elmélet alapjai. Schander tétele, Lomonoszov tétel.

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra gyakorlat.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Riesz-Sz-Nagy: Funkcionálanalízis (egyetemi tankönyv)

Losonczi László: Funkcionálanalízis I. (egyetemi jegyzet)

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet