Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Alkalmazott Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Sztochasztikus folyamatok - AM

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

hatodik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

Magyar

Alkalmazott matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Michaletzky György, Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Michaletzky György

egyetemi tanár

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

 

Matematika Intézet

dr. Arató Miklós

egyetemi docens

 

 

 

 

 

 

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az axiomatikus valószínűségszámítás alapvető ismereteit követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Valószínűségszámítás követelményeinek teljesítése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a sztochasztikus folyamatok elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Sztochasztikus folyamatok általános megadása, példák már korábban ismertetett sztochasztikus folyamatokra. (Független tagú sorok, martingálok, a Wiener-folyamat heurisztikus bevezetése a Donsker-tétel szemléletes bemutatásával.)

Poisson-folyamat. Jellemzése mint folytonos paraméterű folyamat átmenetvalószínűség-függvényére felírt végtelen-dimenziós differenciálegyenlet segítségével.

Diszkrét paraméterű Markov-láncok. Az állapotok osztályozása, periódus. Visszatérőség, annak jellemzése a visszatérési valószínűségek sora segítségével. Az átmenet-valószínűségfüggvény határértéke. Pozitív és null-állapotok. A határérték és a stacionárius eloszlás kapcsolata.

Felújítási folyamatok. A felújítási egyenlet, megoldása (egyértelműség a lokálisan korlátos függvények osztályán belül.) Speciális indítás esetén a felújítási egyenlet explicit megoldása. A felújítások számának aszimptotikus viselkedése. 1 valószínűségi és eloszlásbeli konvergencia. A felújítási függvény végtelenhez tartásának sebessége. A felújítási tétel, a felújítási függvény növekményének viselkedésére. Rácsos illetve nem rácsos eloszlások esete. A hátralévő élettartam, annak aszimptotikus viselkedése.

A Wiener-folyamat, konstrukciója. (Lévy-Ciesielsky konstrukció. [Interpoláció, illetve véletlen együtthatójú sorok]) A Wiener-folyamat kvadratikus variációja. A trajektóriák nem deriválhatósága (Erdős-Dvoretzky-Kakutani-tétel), Hölder-folytonossága.

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

R. N. BatthacharyaE. C. Waymire: Stochastic processes with applications, Applied stochastic processes, Wiley, 1990.

S. Karlin- H. Taylor: Sztochasztikus folyamatok, Gondolat Kiadó, 1985.

 

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Michaletzky György

egyetemi tanár

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

Matematikai Intézet