Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Tanári és elemző szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Algebra3-TE

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

harmadik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

Tanári és elemző szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Freud Róbert, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematikai Intézet

dr. Freud Róbert

egyetemi docens

dr. Hermann Péter

egyetemi docens

dr. Károlyi Gyula

egyetemi docens

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a klasszikus és lineáris algebra, valamint az elemi számelmélet ismeretét követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Bevezető Matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, valamint az Algebra2 és a Számelmélet1 tárgyak (bármelyik szintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja további absztrakt algebrai (és kisebb mértékben lineáris algebrai) ismeretek elsajátítása. Nagy hangsúlyt helyezünk az alkalmazások és a számelméleti kapcsolatok bemutatására.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Gyűrűk. Részgyűrű, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus. Hányadostest, karakterisztika, rendezett gyűrű. Főideál, több elem által generált ideál, kapcsolat az oszthatósággal, illetve a legnagyobb közös osztóval. A számelmélet alaptétele, főideálgyűrű, euklideszi gyűrű, példák.

 

Diofantikus egyenletek. Gauss-egészek, norma, egységek, maradékos osztás, a számelmélet alaptétele, két négyzetszám tétel. További nevezetes egyenletek: pitagoraszi számhármasok, Fermat-sejtés, Pell-egyenlet. Néhány elemi megoldási módszer: szorzattá bontás, kongruenciavizsgálat, a számelmélet alaptételének felhasználása

 

Algebrai számok, testbővítések és alkalmazásaik. Algebrai szám foka és minimálpolinomja. Az algebrai számok testet alkotnak, algebrai szám gyöke is algebrai. Nevezetes transzcendens számok. Testbővítés foka, fokszámtétel. Az egyszerű algebrai bővítések különféle megadása. Geometriai szerkeszthetőség, nevezetes szerkesztési problémák. Testbővítések szerepe az algebrai egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságának vizsgálatában. Véges testek.

 

Euklideszi tér. Skalárszorzat, hossz, távolság, szög, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz-egyenlőtlenség. Altér merőleges kiegészítője. Transzformáció adjungáltja, szimmetrikus transzformációk, főtengelytétel. Skalárszorzat véges testek felett, kombinatorikai alkalmazások.

 

Megjegyzés. A fenti anyag egy része csak bizonyítás nélkül, illetve vázlatos felépítésben szerepel.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Freud Róbert

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet