Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Differenciálegyenletek

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

6

magyar

mat. elemző

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Simon Péter, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az első három féléves analízis anyag ismeretét követeli.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Az első három féléves analízis teljesítése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A közönséges differenciálegyenletek alapismereteinek lerakása, azon fogalmak és összefüggések ismertetése, melyek a továbbiakban lehetőséget adnak a szakirodalom követésére, illetve új fogalomalkotásra, modellezésre. Ezenkívül a természettudományokban használt alapvető differenciálegyenletekkel leírt modellek ismertetése.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer fogalma, megoldásának egyértelműsége, Gronwall lemma. A lokális és globális megoldás létezése. Közönséges differenciálegyenletek megoldási módszerei.

            Lineáris differenciálegyenlet-rendszer: a megoldás létezése és egyértelműsége; a homogén és inhomogén egyenlet megoldásának előállítása az alaprendszer segítségével; az állandók variálásának módszere. Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszer: eA létezése és tulajdonságai; a megoldás előállítása eAt segítségével. Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek.

            Autonóm differenciálegyenletek: csoport tulajdonság; dinamikai rendszer fogalma. Stabilitási fogalmak; lineáris differenciálegyenlet-rendszer stabilitás vizsgálata: stabil, instabil, centrális altér, a stabilitás meghatározása a sajátértékek segítségével, Routh-Hurwitz kritérium; egyensúlyi pont stabilitás vizsgálata linearizálással. Stabilitás vizsgálat Ljapunov módszerével: Ljapunov stabilitási és instabilitási tétele. Kvadratikus alak, mint Ljapunov függvény, kvadratikus Ljapunov függvény lineáris rendszerhez.

            Aszimptotikus viselkedés: az w-határhalmaz fogalma és tulajdonságai, a vonzó halmaz definíciója, és elégséges feltétel a létezésére, a vonzási tartomány. Az w-határhalmazok típusai egy és két dimenzióban: a Poincaré-Bendixson tétel.

            Periodikus megoldás stabilitás vizsgálata: orbitális stabilitás. Floquet elmélet: Floquet tétele, a karakterisztikus multiplikátorok meghatározása, az Andronov-Vitt tétel.

            Másodrendű lineáris differenciálegyenletre vonatkozó peremértékproblémák, és Sturm-féle szeparációs tételek.

            A variációszámítás elemei.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Tóth János, Simon Péter: Differenciálegyenletek; Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba (Typotex, 2005).

V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek (Műszaki Könyvkiadó, 1987).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet