Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Elemző szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: A lineáris algebra alkalmazásai

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

elemző

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Károlyi Gyula, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Hermann Péter

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék,

Matematikai Intézet

dr. Károlyi Gyula

egyetemi docens

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a 6. pont alatt szereplő kritériumtárgyak ismeretét követeli.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Bevezető Matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, valamint az Algebra2, a Geometria1 és a Véges Matematika1 tárgyak (bármelyik szintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A lineáris algebra elemei, és az azokra épülő geometriai szemlélet nélkülözhetetlenek számos, az elemző szakirányon bevezetésre kerülő tárgy fogalmainak, módszereinek megértéséhez, továbbá sok szép alkalmazásra is lehetőséget adnak. Ezért fontosnak tartjuk, hogy a hallgatók ne csupán a bevezető algebra tárgy keretein belül foglalkozzanak a lineáris algebrával, hanem tudásukat folyamatosan szinten tartva, elmélyítve, esetenként pedig kiegészítve egy színes és használható képet kapjanak annak alkalmazási lehetőségeiről.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Lineáris algebrai ismeretek. Az Algebra1,2 tárgyak során tanult ismeretek rövid áttekintése. 

Bilineáris függvények, Gram-Schmidt ortogonalizáció, Sylvester-féle tehetetlenségi tétel, kvadratikus alakok négyzetösszeggé alakítása. Skalárszorzat, euklideszi tér. Hossz, távolság, szög, merőlegesség. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenség. Transzformáció adjungáltja, szimmetrikus és ortogonális transzformációk, főtengelytétel.

 

Algebrai alkalmazások. Véges testek és azok fölötti vektorterek. Általánosított inverzek, alkalmazásuk lineáris egyenletrendszerek pontos, illetve közelitő megoldására. Jordan-alak, mátrixok hatványozása, alkalmazás lineáris rekurziókra. Kapcsolat véges Markov-láncokkal.

 

Gráfelméleti vonatkozások. Gráfok reprezentációja mátrixokkal, különböző gráfparaméterek meghatározása ezek segítségével. Teljes gráf felbontása teljes páros gráfokra. Irányított gráfok, Gessel-Viennot lemma, determinánsok tulajdonságainak leolvasása ennek segitségével, Cauchy-Binet formula. Gráfok feszítőfáinak leszámlálása, Cayley tétele. A lemma további alkalmazásai: Catalan-számok, egy nehéz leszámlálási feladat. Shannon-kapacitás. Expander gráfok. Gráfrekonstrukció. Gráfok spektruma. Reguláris gráfok, Hoffmann-Singleton tétel.

 

Geometriai és kombinatorikai  alkalmazások. Koordinátarendszerek. Affin alterek. Általános helyzet. Lineáris transzformációk geometriai jelentése. A determináns és a térfogatfogalom kapcsolata. A Vandermonde-determináns alkalmazásai: ciklikus poliéderek, gráfok metszés nélküli reprezentációja kis térbeli rácson. Geometriai átdarabolások, Hilbert 3. problémája. Kevés távolságot meghatározó ponthalmazok. Halmazrendszerek, metszési tételek, extremális struktúrák, blokkrendszerek. Vapnik-Chervonenkis dimenzió.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy zárthelyi dolgozat pótlólagos megírására van lehetőség.

 

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség az előadóval, illetve a gyakorlatvezetővel egyeztetve.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

D. K. Fagyejev, I. Sz. Szominszkij: Felsőfokú algebrai példatár (TypoTex kiadó, 2000).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Károlyi Gyula

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet