Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Idősorok és többdimenziós statisztikai módszerek

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium

2

magyar

elemző

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Márkus László és Dr. Michaletzky György, Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Arató Miklós

egyetemi docens

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék,

Matematikai Intézet

dr. Márkus László

egyetemi docens

dr. Michaletzky György

egyetemi tanár

dr Prokaj Vilmos

egyetemi docens

dr. Zempléni András

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az Analízis III-IV., a Valószínűségszámítás elemző szakirány (3.félév) valamint a Leíró- és matematikai statisztika elemző szakirány (4.félév) anyagának ismeretét követeli.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A Valószínűségszámítás, elemző szakirány (3.félév) valamint a Leíró- és matematikai statisztika, elemző szakirány (4.félév) tárgyak követelményeinek teljesítése kötelező.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az idősorok alapvető fogalmainak, elemzésük legegyszerűbb módszereinek bemutatása, valamint a többdimenziós statisztika legelemibb alapismereteinek elsajátíttatása a hallgatókkal. Az akkreditált tematikában szereplő tananyag keretein belül elsősorban az alapvető fogalmakat, tételeket, módszereket tárgyaljuk igen részletesen. Ezért a tárgy elsősorban az elemző szakirány igényeit tartja szem előtt.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Néhány jól ismert speciális folyamatot ( Poisson, Yule, Galton-Watson folyamatok) ismertetünk elsőként. A modellleírások mellett véletlen időpontokban bekövetkező események segítségével is származtatjuk ezeket, és meghatározzuk az ehhez tartozó eloszlásokat. A Galton-Watson folyamatok esetében tárgyaljuk a kihalási valószínűség meghatározásának módját. E folyamatok bemutatásán keresztül érintjük a Markov folyamatok elméletének alapfogalmait is.

Stacionárius folyamatok, alapfogalmainak bevezetésével folytatjuk a tárgyat. A gyenge, erős valamint a k-adredű stacionaritás és az ergodicitás fogalmát és kapcsolataikat tisztázzuk. Az összefüggési struktúra leírására bevezetjük az autokovariancia, autokorreláció és parciális autokorreláció függvényeket ismertetjük tulajdonságaikat, és megemlítjük a dinamikus kopulákat, mint egy újabban előtérbe került lehetőséget. Áttérve a frekvenciatartományra heurisztikus értelmezését adjuk a stacionárius idősor Fourier előállításának. Megadjuk a spektrálelőállítást egzakt formában is, kimondjuk a Herglotz tételt, de nem bizonyítjuk.

Ezek után definiáljuk az autoregressziós (AR(p)), a mozgóátlag (MA(q)), valamint általánosan az integrált autoregressziós mozgóátlag ARIMA(p,d,q) folyamatot. Feltételt adunk a stacionárius megoldás létezésére, kiszámítjuk fontos speciális esetekben a szórást az autokovariancia függvényt, valamint a spektrálsűrűség függvényt. Rámutatunk, hogy az invertálható ARIMA folyamatok lineáris folyamatok. Bevezetjük az ARCH folyamatokat mint az egyik legegyeszerűbb nemlineáris folyamatot. Megvizsgáljuk az ARCH(1) folyamat stacionárius megoldása létezésének feltételét és a megoldás konstrukcióját, ha a megoldás szórása véges. Továbblépve, általánosan, sztochasztikus rekurziós egyenletek esetén Ljapunov-exponenssel adjuk a stacionárius megoldás létezésének feltételét és kimondjuk a Kesten-Vervaat-Goldie tételt reguláris változású eloszlással bíró stacionárius eloszlás létezéséről. Ezek után térünk vissza az ARCH(1) folyamathoz és áltlánosan második momentum végességének feltételezése nélkül is megadjuk a stacionárius megoldás létezésének feltételét. Ismertetjük a GARCH folyamatokra vonatkozó eredményeket is. Ugyancsak tárgyaljuk ezt a témakört a bilineáris folyamatokra is. A további nemlineáris modellek közül megemlítjük a véletlen együtthatós AR, és a SETAR modelleket.

Idősorok becsléselméletének részeként először a várható érték becslésével foglalkozunk. A legjobb lineáris becslés kiszámítása után elemezzük az átlag viselkedését a spektrálmérték tulajdonságai függvényében. Megmutatjuk, hogy ha a {0}-ra koncentrált spektrálmérték pozitív, akkor az átlag még csak nem is konzisztens. Az autokorreláció függvény többféle becslését vizsgáljuk, és rámutatunk, hogy a torzítatlanság helyett fontosabb, hogy az elméletileg helyes pozítív definit tulajdonsággal rendelkezzen a becslés valamint, hogy a becslés szórása ne növekedjék a „lag”, a késleltetés növekedtével. Számítjuk a becslés torzítását, szórását, és határeloszlását. Bemutatjuk a periodogrammot, mint a diszkrét spektrum becslését. A spektrálsűrűségfüggvény becslésére az ablakolás eljárását ismertetjük röviden.

A többdimenziós normális eloszlást definiáljuk, megadjuk sűrűségfüggvényét majd rátérünk a várható érték és a szórásmátrix becsléseinek tulajdonságaira. A regresszió feladatával folytatjuk, megadjuk a legkisebb négyzetes becslést, kimondjuk a Gauss Markov tételt. A regresszió „jóságát” jellemző R2 érték és F-próba tárgyalása után rátérünk a magyarázó változók beválasztásának, vagy redukálhatóságának kérdéskörére, definiáljuk a toleranciát és alkalmazzuk a parciális korrelációt. A regresszió bizonytalanságát mérjük a Mahalanobis távolsággal. Outlierek detektálására bevezetjük a Cook távolság fogalmát. A továbbiakban még röviden megemlítjük az egyszempontú szórásanalízis feladatát, valamint kontingenciatáblák elemzését.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlott.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot.

 

11. Pótlási lehetőségek

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Ajánlott irodalom:

Feller W.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba, Műszaki Kiadó, 1978.

S. Karlin-H. Taylor: Sztochasztikus folyamatok, Gondolat Kiadó, 1985.

Michelberger-Szeidl-Várlaki:Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor analízis, Typotex, 2001.

Brockwell, Davis: Introduction to time series and forecasting, Springer. 1996.

Rozanov, Yu. A.: Probability Theory, Stochastic Processes and Mathematical Statistics 1997

C. R. Rao: linear statistical inference and its applications, Wiley, 1965.

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Márkus László

egyetemi docens

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék,

Matematikai Intézet