Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Algebra1, emelt szint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

első

kollokvium + gyakorlati jegy

2+3

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Kiss Emil, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematikai Intézet

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

dr. Pelikán József

egyetemi adjunktus

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a középiskolai matematika anyag ismeretét követeli.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A Bevezető Matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, illetve ha nem sikerül, akkor a tantárggyal párhuzamos hallgatása.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

Az Algebra1 tárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap- közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az alapvető algebrai ismeretek bemutatása (komplex számok, polinomok, mátrixok és determinánsok). Az emelt szint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben, bizonyításokkal együtt, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk, ez a matematikus szakirány igényeit is kielégíti.

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Komplex számok. A komplex számok (mint formális kifejezések, bevezetés rendezett párokkal is). Valós és képzetes rész, ezek egyértelműsége. Összeadás, kivonás, szorzás. Konjugált, abszolút érték, tulajdonságaik, kapcsolatuk. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani, nullosztómentesség. A műveletek tulajdonságai: a komplex számok testet alkotnak. Négyzetgyökvonás, a másodfokú egyenlet megoldása.

A komplex számsík, komplex szám argumentuma (szöge) és trigonometrikus alakja. Összeadás mint vektorösszeadás. Szorzás és osztás trigonometrikus alakban. Egyes geometriai transzformációk kifejezése komplex számokkal. A háromszög-egyenlőtlenség (geometriai bizonyítással). Geometriai feladatok megoldása a komplex számsíkon.

Komplex szám rendje, a hatványok egyenlőségének vizsgálata. Komplex egységgyökök, trigonometrikus alakjuk, számuk. Gyökvonás komplex számból, az n-edik gyökök meghatározása és geometriai elhelyezkedése. Primitív n-edik egységgyökök, tulajdonságaik, jellemzésük a trigonometrikus alak segítségével, számuk. A hatvány rendjének képlete.

 

Polinomok. Kommutatív, egységelemes gyűrű fölötti polinom mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, normált polinom. Összeadás, nullapolinom, kivonás, szorzás. Nem nulla polinom foka, a fokszám változása a műveleteknél. A polinomok gyűrűje, nullosztómentesség.

A polinomfüggvény fogalma.  Polinom gyöke, a Horner-elrendezés, a gyöktényező kiemelhetősége. A gyökök maximális száma, a polinomok azonossági tétele. Végtelen nullosztómentes gyűrű fölött a polinomfüggvények és a polinomok kapcsolata kölcsönösen egyértelmű, de véges gyűrű fölött nem. Az algebra alaptétele (bizonyítás nélkül): komplex fölött minden nem konstans polinomnak van gyöke. Gyök multiplicitása. Egy n-edfokú komplex együtthatós polinomnak multiplicitásokkal számolva pontosan n komplex gyöke van. A többszörös gyökök és a formális derivált kapcsolata tetszőleges test fölött. A racionális gyökteszt. A Lagrange- és a Newton-interpoláció.

A többhatározatlanú polinom fogalma. A gyökök és együtthatók összefüggése. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek.

 

A polinomok számelmélete. Számelméleti fogalmak gyűrűben: oszthatóság, egység, asszociált, felbonthatatlan (más néven irreducibilis), prímtulajdonságú elem, kitüntetett közös osztó és többszörös, ezek egyértelműsége, képletük alaptételes gyűrűben. A polinomgyűrű egységei. Minden olyan polinommal lehet maradékosan osztani, amelynek a főegyütthatója egység. A maradékos osztás egyértelmű. Az euklideszi algoritmus, az irreducibilis és prím elemek kapcsolata. A számelmélet alaptétele érvényes tetszőleges test fölötti polinomok gyűrűjében, az egész számok számelméletének mintájára.

Test fölött az irreducibilis polinomok azok a nem konstans polinomok, melyek nem bonthatók alacsonyabb fokúak szorzatára. Minden elsőfokú polinom irreducibilis; a másod- és harmadfokúak pontosan akkor irreducibilisek, ha nincs az alaptestben gyökük. Ha egy legalább másodfokú polinomnak van az alaptestben gyöke, akkor nem irreducibilis (de ha nincs gyöke, lehet reducibilis).  Az irreducibilis polinomok komplex fölött az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám ugyanannyiszoros gyöke, mint a konjugáltja. Minden páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A valós fölötti irreducibilis polinomok az elsőfokúak, és azok a másodfokúak, melyeknek diszkriminánsa negatív.

A Schönemann-Eisenstein-kritérium a racionális számok teste fölötti irreducibilitásra. Következmény: racionális fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom létezik. A körosztási polinom; rekurzív képlete, kiszámítása, ez egész együtthatós. A körosztási polinom irreducibilis. További módszerek az irreducibilitás eldöntésére. Gauss-lemma, az irreducibilis polinomok jellemzése az egész együtthatós polinomok gyűrűjében, itt is érvényes a számelmélet alaptétele. Általánosítás: alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is alaptételes. Alaptétel a többhatározatlanú polinomok között.

A harmadfokú egyenlet, Cardano képlete, ebben a köbgyökvonás helyes elvégzése, Casus Irreducibilis.  A negyedfokú egyenlet (csak vázlat). A rezultáns és a diszkrimináns.

 

Vektorok és mátrixok. A lineáris egyenletrendszer fogalma és megoldása Gauss-eliminációval.  Vezéregyesek, tilos sorok, szabad és kötött változók, a megoldások általános képlete és száma. Az egyetlen összefüggés az ismeretlenek száma, az egyenletek száma és a megoldások száma között: ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás. Homogén lineáris egyenletrendszer, triviális megoldás, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen, akkor van nemtriviális megoldás. A Cramer-szabály.

A sík vektorai, helyvektorok, összeadás és skalárral szorzás. Test fölötti oszlopvektorok, összeadás, skalárral szorzás. A sík origót fixáló egybevágósági (és hasonlósági) transzformációi összeg- és skalárszorostartók. A sík lineáris transzformációinak megadása mátrix segítségével. Vektor képének kiszámítása, mátrix és vektor szorzata. Kompozíció mátrixa, mátrixok szorzása. A mátrixszorzás asszociativitása (annak következménye, hogy a leképezések kompozíciója asszociatív). Az egységmátrix és az inverz mátrix fogalma. Mátrixok összeadása és skalárral szorzása. A mátrixműveletek tulajdonságai, a négyzetes mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak. Lineáris függés és függetlenség. Mátrix rangja és kiszámítása Gauss-eliminációval.

 

A determináns. A determináns mint négyzetes mátrixhoz rendelt szám bizonyos tulajdonságokkal: minden oszlopában lineáris, ha két oszlop egyenlő, akkor az eredmény nulla. Létezés és egyértelműség, a determináns képlete. A determináns oszlopcserénél előjelet vált, egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva az értéke nem változik, felső háromszögmátrix determinánsa. A transzponált mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával, így az oszlopokra megkövetelt tulajdonságok sorokra is érvényesek. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. A Vandermonde-determináns. A determinánsok szorzástétele.  A determináns eltűnésének jellemzése. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Invertálás Gauss-eliminációval. A Laplace-féle kifejtés. A Cauchy-Binet formulák.

 

Absztrakt algebrai alapfogalmak. Művelet, asszociativitás, kommutativitás. Csoport, gyűrű; kommutatív, egységelemes, nullosztómentes gyűrű; test. Elemi számolási szabályok. Invertálható elem, egész kitevőjű hatványok és tulajdonságaik, többszörös. Nullosztómentes gyűrűben szabad egyszerűsíteni. Minden test nullosztómentes. Részcsoport, részgyűrű. Művelettartó leképezés, példák: komplex konjugálás, maradékképzés, geometriai transzformációk.

Összeadás és szorzás egy m modulusra nézve, a Zm gyűrű, ennek invertálható elemei az m-hez relatív prím elemek. Ez a gyűrű akkor és csak akkor nullosztómentes ha test, akkor és csak akkor, ha m prímszám.

A binomiális együtthatók alaptulajdonságai, a binomiális tétel. Ha egy gyűrűben minden elem p-szerese nulla, akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (p prím).

A permutáció fogalma. Kompozíció, inverz, ciklusfelbontás, a szimmetrikus csoport. Inverzió, permutáció paritása (előjele). Az előjelek szorzástétele, a páros permutációk száma.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

D. K. Fagyejev, I. Sz. Szominszkij: Felsőfokú algebrai példatár (TypoTex kiadó, 2000).

 

További irodalom:

Fried Ervin: Algebra I (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet