Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

kötelező tantárgy

 

Tantárgyi Adatlap

és tantárgyi követelmények

2005.

Tantárgycím: Számelmélet1, emelt szint

2.

Tantárgy kódja

Szemeszter

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/szakirány

 

 

első

K+Gy

2+3

magyar

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

         Sárközy András, Algebra és Számelmélet Tanszék

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Sárközy András

egy. tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

dr. Freud Róbert

egy. docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

dr. Károlyi Gyula

egy. docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

dr. Szalay Mihály

egy. docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

dr. P. Kovács Katalin

egy. docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

         Középiskolai matematika anyag.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

         Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

      Bevezetés a számelméletbe. A tárgyat két párhuzamos szinten hirdetjük meg. Ezek elsősorban nem a tárgyalt anyag mennyiségében, hanem annak mélységében különböznek. Az emelt szintet azoknak ajánljuk, akik matematikailag érettebbek, azaz a középiskolában az átlagosnál magasabb szintű matematikaoktatásban részesültek és/vagy már ott is intenzíven foglalkoztak matematikával (tagozatos osztályok tanulói, versenyzők, KöMaL megoldók, s í.t.)

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

         Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, felbonthatatlan és prímszámok, a számelmélet alaptétele, következmények.

            Számelméleti függvények, ω(n), Ω(n), d(n), σ(n), ϕ(n), additív és multiplikatív számelméleti függvények, kapcsolatuk. Összegzégi függvény, multiplikatív függvény összegzési függvénye. A Möbius függvény, összegzési függvénye. Tökéletes számok, páros tökéletes számoknál elégségesség. Σ d(n) becslése.

            Kongruenciák, teljes és redukált maradékrendszer. ϕ(n) multiplikativitása. Az Euler-Fermat tétel. Lineáris kongruenciák, lineáris diophantikus egyenletek. Lineáris kongruencia rendszerek. Alkalmazások: RSA, prímmodulusú kódolás. Magasabb fokú kougruenciák. Redukció prímhatvány, ill. prím modulusra. Megoldásszám, fokszám redukció prím modulus esetén. Wilson tétele. xk ≡ 1 (p). k-adik hatványmaradékok. A rend definíciója és tulajdonságai. Hány a van o(a)= k-val? Primitív gyök, index. Kvadratikus maradékok. A Legendre szimbólum és alaptulajdonságai, Euler lemma. A kvadratikus reciprocitási tétel, Gauss lemma (mind kettő bizonyítás nélkül), utóbbival (²/p).

       Végtelen sok prím létezése, π(x) becslése.

            A gyakorlatok anyaga főként az előadások témájához kapcsolódó feladatmegoldás.

 

9. A tantárgy oktatásának módja: előadás/gyakorlat:

         Heti 2 óra előadás, 2 óra gyakorlat.

 

10. Követelmények

a.     A szorgalmi időszakban: részvétel a gyakorlatokon, a házi feladatok megoldása és a zárthelyik írása kötelező. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlott.

b.     A vizsgaidőszakban: kollokvium. Az elégtelen gyakorlati jegy javítására egy utóvizsga tehető a vizsgaidőszak alatt.

11. Pótlási lehetőségek: .

 

12. Konzultációs lehetőségek: rendszeres konzultációs lehetőség a gyakorlatvezetővel, illetve előadóval egyeztetve.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

            Freud Róbert és Gyarmati Edit: Számelmélet

            Sárközy András és Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény.

            Szalay Mihály: Számelmélet

            Sárközy András: Számelmélet

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

         Lásd 10.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta (Név, beosztás, tanszék/intézet):

         Sárközy András, egyetemi tanár

            Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet