Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Algebra2, emelt szint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

második

kollokvium + gyakorlati jegy

2+3

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Kiss Emil, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematika Intézet

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

dr. Pelikán József

egyetemi adjunktus

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a klasszikus algebra alapjainak ismeretét feltételezi (komplex számok, polinomok, mátrixműveletek, determinánsok).

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele az Algebra1 és a Számelmélet1 tárgyak (bármelyik szintjének, de lehetőleg az emelt szintnek) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

Az Algebra2 tárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap-, közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az alapvető lineáris algebrai és csoportelméleti ismeretek bemutatása. Az emelt szint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben, bizonyításokkal együtt, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk, ez a matematikus szakirány igényeit is kielégíti.

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Vektorterek. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció. Lineáris függés és függetlenség, kapcsolatuk. Végtelen vektorrendszer függetlensége. A bázis fogalma, jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Következmény: véges bázis létezése végesen generált vektortérben. Vektor koordinátái adott bázisban.

A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Következmények: független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. A dimenzió fogalma. Valódi altér dimenziója. Alterek összege, mint az unió által generált altér. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése. Alterek összegének dimenziója.

 

Lineáris leképezések. A lineáris leképezés, mint vektorterek közötti homomorfizmus; lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. Az algebra fogalma, a lineáris leképezések vektortere, a lineáris transzformációk algebrája. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között, ennek vektortér- és algebra-izomorfizmusként való megfogalmazása.  A bázistranszformáció képlete.

Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések terének dimenziója.

Lineáris transzformáció determinánsa: hányszorosára növeli a térfogatot. Következmény: a determinánsok szorzástétele. Transzformáció determinánsa megegyezik a mátrixának a determinánsával.  Egy transzformáció akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra.

Vektorrendszer rangja mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. A rang legfeljebb akkora, mint az értelmezési tartomány dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Mátrix oszloprangja, lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának a rangja. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang, a rang a Gauss-eliminációnál keletkező vezéregyesek száma. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. A duális tér és a duális bázis. A diád fogalma. Minden mátrix felbontható rangnyi számú diád összegére, de kevesebbre nem. Algoritmus a minimális diádfelbontás meghatározására.

Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.

Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek A gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek A gyöke, egy polinomnak A akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse.  A minimálpolinom foka legfeljebb a dimenzió négyzete. Bővebb test fölött egy mátrix minimálpolinomja nem változik. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.

Az invariáns altér fogalma, a tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felső háromszögmátrix, kapcsolat a Cayley-Hamilton-tétellel. A Jordan-normálalak, egyértelműség (bizonyítás nélkül). A Jordan-normálalak hatványozása.

 

Csoportok. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, a lineáris csoportok és rendjeik. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport.

Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik.  Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű.  Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak leírása. A generált részstruktúra (részcsoport, altér, részgyűrű, ideál, stb.) általános fogalma és létezése.  A generált részcsoport elemeinek leírása az általános, illetve a kommutatív esetben. Minden véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható.

Permutációcsoport, fok, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A kocka szimmetriáinak a száma. Csoport hatása halmazon. Cayley tétele.

Izomorfizmus, módszerek az izomorfia eldöntésére. A ciklikus csoportok izomorfia-típusai. A kis elemszámú csoportok leírása. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó.  Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek. Elem rendje a faktorcsoportban. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. Egyszerű csoportok, példák, a Feit-Thompson-tétel és a klasszifikáció.

A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. Diszkrét direkt szorzat (direkt összeg). Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás nélkül).

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

B. Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó, Szeged, 2005).

 

További irodalom:

Fried Ervin: Algebra I-II (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000).

Fuchs László: Algebra (ELTE egyetemi jegyzet).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet