Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Algebra2, középszint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

második

kollokvium + gyakorlati jegy

2+3

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Kiss Emil, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

 

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematikai Intézet

dr. Freud Róbert

egyetemi docens

dr. Hermann Péter

egyetemi docens

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a klasszikus algebra alapjainak ismeretét feltételezi (komplex számok, polinomok, mátrixműveletek, determinánsok).

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele az Algebra1 és a Számelmélet1 tárgyak (bármelyik szintjének, de lehetőleg legalább a középszintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

Az Algebra2 tárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap-, közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az alapvető lineáris algebrai és csoportelméleti ismeretek bemutatása. A középszint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket közepes részletességgel és sebességgel tárgyaljuk, figyelmet fordítva az absztrakt algebra megalapozására is. Ezzel elsősorban a másodéven választható alkalmazott matematikus, matematika tanár és elemző szakirány igényeit tartjuk szem előtt.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Vektorterek. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció. Lineáris függés és függetlenség, kapcsolatuk. A bázis fogalma, jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Vektor koordinátái adott bázisban.

A kicserélési tétel. Következmények: független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. A dimenzió fogalma. Valódi altér dimenziója. Alterek összege. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése. Alterek összegének dimenziója.

 

Lineáris leképezések. Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. Az algebra fogalma, a lineáris leképezések vektortere, a lineáris transzformációk algebrája. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között, ennek vektortér- és algebra-izomorfizmusként való megfogalmazása.  A bázistranszformáció képlete.

Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések terének dimenziója.

Lineáris transzformáció determinánsa, ez független a bázistól.  Egy transzformáció akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra.

Vektorrendszer rangja mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. A rang legfeljebb akkora, mint az értelmezési tartomány dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Mátrix oszloprangja, lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának a rangja. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang, a rang a Gauss-eliminációnál keletkező vezéregyesek száma. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. A diád fogalma. Minden mátrix felbontható rangnyi számú diád összegére, de kevesebbre nem. Algoritmus a minimális diádfelbontás meghatározására.

Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.

Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja a legalacsonyabb fokú polinom, aminek A gyöke. Egy polinomnak A akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse.  A minimálpolinom foka legfeljebb a dimenzió négyzete. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának (bizonyítás nélkül). Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.

Az invariáns altér fogalma. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres. A Jordan-normálalak, egyértelműség (bizonyítás nélkül). A Jordan-normálalak hatványozása.

 

Csoportok. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, az általános lineáris csoport. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport.

Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik.  Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű.  Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak leírása. Generált részcsoport az általános, illetve a kommutatív esetben. Minden véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható.

Permutációcsoport, fok, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A kocka szimmetriáinak a száma. Cayley tétele.

Izomorfizmus, módszerek az izomorfia eldöntésére. A ciklikus csoportok izomorfia-típusai. A kis elemszámú csoportok leírása. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó.  Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. Elem rendje a faktorcsoportban. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás, mint automorfizmus. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. Egyszerű csoportok, példák, a Feit-Thompson-tétel és a klasszifikáció.

A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése két tényező esetén. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás nélkül).

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös kiadó, 1996, 2004).

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

B. Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó, Szeged, 2005).

 

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet