Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Analízis 2, emelt szint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

második

kollokvium + gyakorlati jegy

3+4

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Laczkovich Miklós, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

Szilágyi Tivadar, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Bátkai András

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Buczolich Zoltán

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Fehér László

egy. adjunktus

Analízis Tanszék

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Kristóf János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Laczkovich Miklós

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Petruska György

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szőke Róbert

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Tóth Árpád

egy. adjunktus

Analízis Tanszék

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az analízis1 tantárgy ismeretét feltételezi, lehetőleg legalább emelt szinten.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

Az analízis2 tárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap- közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az egyváltozós matematikai analízis további legfontosabb fejezeteinek (Riemann integrál, végtelen sorok, függvénysorozatok és függvénysorok) bemutatása. Az emelt szint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben tárgyaljuk, ez a matematikus szakirány igényeit is kielégíti.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

A primitív függvény fogalma.

Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás, helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése.

 

A Riemann-integrál fogalma. Az integrálhatóság feltételei.

Az integrál elemi tulajdonságai. Integrálok becslése.

A Newton-Leibniz formula.

 

Az integrálszámítás alkalmazásai. Wallis-formula, Stirling-formula.

A Taylor-formula integrál-maradéktaggal.

 

Az improprius integrál fogalma. Az improprius értelemben vett integrálhatóság feltételei.

Példák elemi primitív függvénnyel nem rendelkező függvények improprius integráljának kiszámítására.

 

Korlátos változású függvények.

A Riemann-Stieltjes integrál. Az integrálszámítás második középértéktétele.

 

Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-, hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok, az Abel-Dirichlet kritérium).

Végtelen sorok szorzása (négyzetes szorzás, Cauchy-szorzat), Mertens tétele konvergens és abszolút konvergens sor Cauchy szorzatáról.

Sorok átrendezése. Riemann tétele.

 

Függvénysorozatok, függvénysorok. Egyenletes konvergencia.

A limeszfüggvény, illeteve összegfüggvény határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága.

A függvénysorok egyenletes konvergenciájára vonatkozó Abel-Dirichlet kritérium.

 

Hatványsorok.

Abel folytonossági tétele.

 Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-soruk összegeként.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 3 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

Petruska György: Analízis I. (egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 1988).

B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyüjtemény (Tankönyvkiadó, 1987).

Császár Ákos: Valós Analízis I-II. (Tankönyvkiadó, 1988).

Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai (Műszaki Könyvkiadó, 1978).

T. Sós Vera: Analízis I/2. (Integrálszámítás) (egyetemi jegyzet, 1995).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Laczkovich Miklós

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Matematikai Intézet

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék Matematikai Intézet