Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

                        Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgyi Adatlap

és tantárgyi követelmények

2005.

Tantárgycím: Geometria 1, emelt szint

2.

Tantárgy kódja

Szemeszter

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/szakirány

 

 

második

gyakorlati jegy, kollokvium

3+3

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tantárgy a középiskolai matematikaanyag ismeretén túl jártasságot követel a lineáris leképezések, mátrixok és determinánsok témakörében.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Az Algebra 1 tantárgy követelményeinek teljesítése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

A Geometria 1 tantárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap- közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az alapvető geometriai ismeretek bemutatása (térelemek és viszonyaik, transzformációk, vektor- és koordinátageometria, konvexitás, sokszög és poliéder). Az emelt szint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben és általánosságukban, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk. Ez a tárgyalásmód a másodéven választható matematikus szakirány igényeinek is megfelel.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

A vektor geometriai fogalma, vektortér-műveletek és skaláris szorzat bevezetése az euklideszi térben.

 

Szimmetrikus bilineáris függvények magasabb dimenziós vektortereken. Euklideszi vektorterek, ortogonalizáció.

 

Véges dimenziós valós vektortér irányítása, irányított vektortér, irányítástartó leképezések.

 

A vektoriális szorzat és a vegyes szorzat bevezetése az irányított háromdimenziós euklideszi térben. Nevezetes vektorazonosságok.

 

Egyenesek, síkok, körök, gömbök egyenletei.

 

A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometriai tételek és gömbháromszögekkel kapcsolatos egyenlőtlenségek. Gömbháromszögek felszíne.

 

Sokszögek és poliéderek. A sokszögekre vonatkozó Jordan-tétel. Sokszögek háromszög-felbontása, a szögösszeg-tétel. Az Euler-féle poliédertétel. A szabályos poliéderek osztályozása.

 

Affin tér, vektortér affin struktúrája. Affin leképezés,  affinitás, affin koordinátarend-szer. Affin altér, párhuzamosság. Dilatációk, vetítések, affin szimmetriák.

 

Affin leképezések és affin alterek jellemzése affin kombinációk segítségével. Affin burok, függetlenség, affin bázis.

 

Az osztóviszony és tulajdonságai. Súlyozott pontrendszer súlypontja. Baricentrikus koordináták. Ceva és Menelaosz tételei.

 

Kollineációk és szemiaffin leképezések. Az affin geometria alaptétele.

 

Véges dimenziós valós affin terek: iránzítás, félterek, topológiai fogalmak.

 

Konvex halmazok affin térben. A konvexitás jellemzése és a konvex burok előállítása konvex kombinációk segítségével. Minkowski-kombinációk. Carathéodory, Radon és Helly tételei.

 

Konvex halmazok elválasztási tulajdonságai. Támaszhipersíkok és támaszfélterek. Extremális pontok, Krein-Milman-tétel.

 

Konvex poliéderek. A lapok kombinatorikai szerkezete. Konvex politópok. A konvex politóp és a korlátos konvex poliéder fogalmának ekvivalenciája. A politópokra vonatkozó Euler-formula.

 

      

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás és az előadás anyagát követő heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése és elsajátítása. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlatijegy-utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

          A félév végén egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség elégtelen évközi zárthelyi esetén, vagy a gyakorlatvezető döntése alapján.

 

12. Konzultációs lehetőségek

          Az előadóval, illetve a gyakorlatvezetővel megbeszélés szerint.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Hajós György: Bevezetés a geometriába (Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999)

Marcel Berger: Geometry I.  (Springer, 1987)

Moussong Gábor: Az affin geometria elemei (kézirat, letölthető a

     http://www.math.elte.hu/~mg/affin.pdf internetes címről)

Szabó László: Konvex geometria (ELTE jegyzet, 1996)

Moussong Gábor: Konvex halmazok és politópok affin térben (kézirat, letölthető a

     http://www.math.elte.hu/~mg/konvex.pdf internetes címről)

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta (Név, beosztás, tanszék/intézet):

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet