Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

                        Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgyi Adatlap

és tantárgyi követelmények

2005.

Tantárgycím: Geometria 1, középszint

2.

Tantárgy kódja

Szemeszter

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/szakirány

 

 

második

gyakorlati jegy, kollokvium

3+3

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tantárgy a középiskolai matematikaanyag ismeretén túl jártasságot követel a lineáris leképezések, mátrixok és determinánsok témakörében.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Az Algebra 1 tantárgy követelményeinek teljesítése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

A Geometria 1 tantárgyat párhuzamosan három szinten hirdetjük meg (alap- közép- és emelt szint), ezek közül egyet kell választani. A három szint egymás között szabadon átjárható.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az alapvető geometriai ismeretek bemutatása (térelemek és viszonyaik, vektor- és koordinátageometria, konvexitás, sokszög és poliéder). A középszint azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket közepes részletességgel és sebességgel tárgyaljuk, figyelmet fordítva a geometria későbbi fejezeteinek előkészítésére, az anyag magasabb szintű alkalmazásaira is. Ezzel elsősorban a másodéven választható matematikatanári, alkalmazott matematikus és matematikai elemző szakirányok igényeit tartjuk szem előtt.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Koordináták bevezetése az egyenesen, a síkon és a térben. Számegyenes, koordináta-sík, koordinátatér, irányítás. Descartes-féle koordináták, távolság. Szögmértékek: szögtartomány nagysága, forgásszög, egyenesek irányított szöge.

 

Térelemek kölcsönös helyzete, párhuzamossága, merőlegessége, szöge. Merőleges vetítések. Eltolások, forgatások, tükrözések síkban és térben.

 

Szakaszok, irányított szakaszok. Vektorok, mint irányított szakaszok ekvivalencia-osztályai. Vektorok párhuzamossága, merőlegessége, szöge, hossza.

 

Vektorok koordinátái, vektortér-műveletek, műveleti tulajdonságok. Bázisok és koordinátarendszerek kapcsolata, alapvektorok.

 

Skaláris és vektoriális szorzat, ezek műveleti tulajdonságai és koordinátás származ-tatása. A vegyes szorzat és geometriai jelentése. Nevezetes vektorazonosságok.

 

Egyenesek egyenlete síkban és térben, síkok egyenlete térben. A geometriai adatok és az együtthatók kapcsolata. Normálegyenletek. Kör és gömb egyenlete.

 

Az osztóviszony fogalma és kapcsolata a helyvektorok együtthatóival. Súlyozott pontrendszer súlypontja, a súlyok csoportosíthatósága. Rögzített alappontrendszerre vonatkozó súlyok arányának egyértelműsége. Háromszögek néhány nevezetes pontjának előállítása a csúcsok súlypontjaként. Ceva és Menelaosz tételei.

 

A gömbi geometria alapfogalmai: főkör, szakasz, távolság és szög a gömbfelületen, gömbháromszög. A gömbi szinusz- és koszinusztétel. A gömbi háromszögegyen-lőtlenség és következményei: a kerületre és a szögösszegre vonatkozó egyenlőtlen-ségek.

 

Konvex halmazok és a konvex burok fogalma, a konvex burok egyértelmű létezése. A konvexitás jellemzése és a konvex burok előállítása nemnegatív súlyokkal vett súlypontok segítségével. Helly tétele.

 

Sokszög és konvex sokszög. Töröttvonal, poligonális összefüggőség, sokszögvonal, a sokszögekre vonatkozó Jordan-tétel, sokszöglemez. Sokszögek háromszög-felbontása, a szögösszeg-tétel. Sokszög konvexitásának ekvivalens feltételei. Konvex sokszögek származtatása konvex burokként, illetve félsíkok metszeteként.

 

Konvex poliéder definíciója, a lapok, élek és csúcsok származtatása. Azonos kombinatorikai szerkezetű, illetve duális kombinatorikai szerkezetű konvex poliéderek. Az Euler-féle poliédertétel konvex poliéderek esetére.

 

Konvex poliéder lapszögei, élszögei, testszögletei. Szabályos sokszögek és szabályos térszögletek. Szabályos poliéderek ekvivalens definíciói, konstrukciók. A szabályos poliéderek osztályozási tétele.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás és az előadás anyagát követő heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése és elsajátítása. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlatijegy-utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

          A félév végén egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség elégtelen évközi zárthelyi esetén, vagy a gyakorlatvezető döntése alapján.

 

12. Konzultációs lehetőségek

          Az előadóval, illetve a gyakorlatvezetővel megbeszélés szerint.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Hajós György: Bevezetés a geometriába (Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999)

Hajós György, Strohmajer János: A geometria alapjai (ELTE jegyzet)

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta (Név, beosztás, tanszék/intézet):

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet