Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Analízis 3 (matematikus szakirány)

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

harmadik

kollokvium + gyakorlati jegy

4+3

magyar

matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Petruska György, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

Szilágyi Tivadar, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:  

 

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Bátkai András

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Buczolich Zoltán

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Izsák Ferenc

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Kristóf János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Laczkovich Miklós

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Mezei István

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Petruska György

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Sikolya Eszter

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Tóth Árpád

egyetemi docens

Analízis Tanszék

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az analízis2 és algebra2 tantárgy ismeretét feltételezi, lehetőleg emelt szinten.

 

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a többváltozós matematikai analízis legfontosabb fejezeteinek (topológiai fogalmak, folytonosság, differenciálhatóság, Jordan-mérték és Riemann-integrál, vonalintegrál, vektoranalízis) bemutatása.  

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Konvergencia és topologikus alapfogalmak (belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont, izolált pont, nyílt halmaz, zárt halmaz, kompakt halmaz) euklideszi és metrikus terekben.

 

Többváltozós, illetve metrikus téren értelmezett függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Átviteli elvek. Kompakt halmazon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.

 

Deriválás koordinátafüggvényenként. Iránymenti és parciális deriváltak, Jacobi-mátrix. A gradiens. Érintősík. Lagrange-féle középértéktétel. A Lagrange-féle becslés leképezésekre. A differenciálhatóság szükséges és elégséges feltételei. Szélsőérték-keresés kompakt halmazon értelmezett függvényekre. n-szer differenciálható leképezések. Taylor-polinomok és differenciálok. A Young-tétel. A Taylor-formula. Lokális szélsőérték szükséges, ill. elégséges feltételei. Az inverz leképezés deriváltja, inverzfüggvénytétel. Az  implicit leképezés tétele. Feltételes szélsőértékfeladat, Lagrange-féle multiplikátorszabály.

 

Korlátos változású leképezések, a teljes változás kiszámítására szolgáló formula, görbék ívhossza.  A Riemann-Stieltjes-integrál.

 

 A Jordan-féle belső és külső mérték. A határ külső mértéke. Jordan-mérhető halmazok. A mérhetőség pontos feltétele. A konvex poliéderek és a normáltartományok mérhetősége. A parallelepipedonok térfogata. A Jordan-mérték egybevágóság-invarianciája.

 

A többszörös integrál. Definíció, alaptulajdonságok, az integrálhatóság ekvivalens feltételei. Folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Egy halmaz mérhetőségének és karakterisztikus függvénye integrálhatóságának ekvivalenciája. Folytonos függvénnyel való kompozíció integrálhatósága. A lebontási tétel. A Cavalieri-tétel.  Normáltartományok térfogata. A gömb térfogata. Mértéktranszformáció. Az integráltranszformáció (esetleg bizonyítás nélkül). A polárkoordinátás helyettesítés.

 

A vonalintegrál és kiszámítása. A Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének feltételei. Divergencia és rotáció; integráltételek (csak a kétdimenziós Gauss tétel bizonyítással).

 

Paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása. Improprius paraméteres integrálok. Egyenletes konvergencia. Improprius paraméteres integrálok folytonossága, differenciálása és integrálása. Elégséges feltétel az improprius paraméteres integrál egyenletes konvergenciájára.

 

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 4 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 3 óra gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

Petruska György:  Analízis I.-II. kötet (egyetemi jegyzet), ELTE Eötvös Kiadó, 1998.

Császár Ákos: Valós analízis I.-II. kötet, Tankönyvkiadó, 1988.

Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai, Műszaki Könyvkiadó, 1978.

Komornik Vilmos: Valós analízis előadások I. kötet, Typotex Kiadó, 2003,

 

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:   

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék Matematikai Intézet