Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Geometria 2M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

harmadik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+3

magyar

Matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az affin és konvex geometria alapfogalmaira, valamint az absztrakt algebra és az analízis bevezető fogalmaira épít.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Bevezető matematika kritériumtárgy követelményeinek teljesítése, valamint a Geometria 1 és az Analízis 2 tárgyak (bármelyik szintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a magasabb dimenziós euklideszi geometria fogalmainak, eszközrendszerének kiépítése és néhány nevezetes eredményének a tárgyalása.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Euklideszi izometriák.  Az euklideszi tér és az izometria fogalma. Eltolások és ortogonális transzformációk. Az izometriák természetes felbontása ortogonális transzformáció és eltolás kompozíciójára. Az izometriák osztályozása 2 és 3 dimenzióban.

 

Ortogonális felbontások, vetítések, szimmetriák, tükrözések. Affin alterek szöge. Izometriák előállítása tükrözések szorzataként.

 

Ortogonális csoportok. Topológiai és algebrai tulajdonságok. Az SO(3) csoport egyszerű volta. A kvaterniók geometriája.

 

Szabályos politópok. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai mint az O(2) és az O(3) csoport véges részcsoportjai. Szabályos politópok fogalma és konstrukciói. A szabályos politópok osztályozása magasabb dimenzióban.

 

Hasonlóságok.  Hasonlósági transzformációk euklideszi térben. A hasonlósági transzformációk csoportjának szerkezete, a hasonlóságok koordinátás leírása. Gömbtartó leképezések.

 

Inverzív geometria. Gömbök és affin alterek kölcsönös helyzete, szöge. Hatvány, hatványhipersík. Gömbre vonatkozó inverzió euklideszi térben. Affin alterek és gömbök képe inverziónál. Érintkezéstartás, szögtartás.

 

Sztereografikus vetítés és tulajdonságai. A gömbi tükrözések és az inverziók közötti kapcsolat.

 

Euklideszi tér inverzív bővítése. Möbius-transzformációk inverzív térben és gömbön. Irányítástartó Möbius-transzformációk. A Möbius-transzformációk Poincaré-féle kiterjesztése.

 

Térfogat és felszín. A térfogat fogalma és főbb tulajdonságai euklideszi térben. Konvex testek approximációja politópokkal. Golyók térfogata. Politópok és konvex testek felszíne. A felszín monotonitása. Golyók felszíne.

 

Hausdorff-metrika. A térfogat és a felszín mint folytonos függvények. Blaschke kiválasztási tétele.

 

Paralleltartományok szerkezete, a SteinerMinkowski-tétel. Steiner-féle szimmet-rizáció. A felszín változása szimmetrizációnál.

 

Blaschke tétele a gömbről. Az izodiametrikus és az izoperimetrikus egyenlőtlenség.

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

         Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1960-1999.

         Marcel Berger: Geometry I.  Springer-Verlag, 1987.

         Moussong Gábor: Bevezetés az euklideszi geometriába (kézirat, letölthető a

     http://www.math.elte.hu/~mg/eukl.pdf internetes címről)

     Szabó László: Konvex geometria. ELTE jegyzet, 1996.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

            Az előadási anyag megértése és felkészülés a vizsgára, továbbá a házi feladatok          elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet