Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Algebra4-M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

3+2

magyar

matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Pálfy Péter Pál, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Ágoston István

egyetemi docens

Algebra és Számelmélet Tanszék

 

Matematika Intézet

dr. Kiss Emil

egyetemi tanár

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

dr. Pelikán József

egyetemi adjunktus tanár

dr. Szabó Csaba

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a klasszikus és lineáris algebra, továbbá a csoport- és gyűrűelmélet elemeinek ismeretét követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele az Algebra3-M (matematikus szakirány) tárgy elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a csoportelmélet és a testelmélet fontosabb eredményeinek megismertetése és egyes más algebrai ágak vázlatos bemutatása.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Csoportelmélet. Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Dyck tétele. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. A szimmetrikus csoportok kompozícióláncai. Elem, illetve részcsoport centralizátora, normalizátora. Sylow részcsoportok, Sylow tételei. Féldirekt szorzat. Kis elemszámú csoportok.

 

Galois-elmélet. A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Elem minimálpolinomja, algebrai és transzcendens elemek. A minimálpolinom jellemzése az irreducibilitás segítségével. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete a transzcendens és az algebrai esetben. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű. Egyszerű testbővítés konstrukciója. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele.  Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, minden véges bővítés algebrai. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste, ez algebrailag zárt. Algebrailag zárt bővítés létezése általános test esetén (bizonyítás nélkül).

A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. A felbontási test egyértelmű. A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Tökéletes test véges bővítése egyszerű.  Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma.  A Galois-elmélet főtétele. Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei.

A véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív).

Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.

Egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága. Kapcsolat a Galois-csoport feloldhatóságával.  Példa olyan polinomra, amelynek Galois-csoportja S5, és így nem oldható meg gyökjelekkel. Az általános egyenlet Galois-csoportja a teljes szimmetrikus csoport. A legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet.

 

Féligegyszerű modulusok és gyűrűk. Féligegyszerű gyűrűk ekvivalens jellemzései: minden modulus féligegyszerű; minden modulus projektív; minden modulus injektív; a Hom funktor egzakt; a gyűrű balideáljaira teljesül a minimumfeltétel és nem tartalmaz nilpotens balideált. Gyűrű Jacobson-radikálja. Féligegyszerű modulus felbontása homogén részmodulusok direkt összegére. Wedderburn-Artin-tétel: Féligegyszerű gyűrű felbontása teljes mátrixgyűrűk direkt összegére.

 

Test feletti algebrák. Példák: polinomgyűrű, mátrixgyűrű, testbővítések. Csoportalgebra, Maschke-tétel. Kvaternióalgebra. Frobenius tétele a valós test felett véges dimenziós nullosztómentes algebrákról.

 

Csoportábrázolások. Ábrázolás (reprezentáció) lineáris transzformációkkal, illetve mátrixokkal. Kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusokkal. Ekvivalens ábrázolások. Irreducibilis ábrázolások, ezek száma megegyezik a csoport konjugáltosztályainak számával. Karakterek. Két ábrázolás ekvivalenciájának feltétele, hogy a karaktereik megegyezzenek. Karaktertáblázat. Az ortogonális idempotensek együtthatói a csoportalgebrában. Karakterek skalárszorzata. I. és II. ortogonalitási reláció.

 

Hálók. Részben rendezett halmaz. Legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel. A két definíció ekvivalenciája. Moduláris és disztributív hálók definíciója és jellemzése tiltott részhálókkal. Intervallumok izomorfiája moduláris hálókban. Stone-tétel disztributív hálókra. Komplementum. Boole-algebra. Stone-tétel Boole-algebrákra. Boole-gyűrűk és Boole-algebrák kapcsolata. Rendezett algebrai struktúrák.

 

Univerzális algebra. Általános algebrai struktúrák, típus. Részalgebra, homomorfizmus direkt szorzat. Azonosság, azonosságokkal definiálható osztály, varietás. Szabad algebra. Birkhoff tétele.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Kiss Emil: Bevezetés az absztrakt algebrába (kéziratban, ami letölthető a http://www.cs.elte.hu/~ewkiss/bboard/algebrabook  internetes címről).

B. Szendrei Mária, Czédli Gábor, Szendrei Ágnes: Absztrakt algebrai feladatok (Polygon kiadó, Szeged, 2005).

 

További irodalom:

Fried Ervin: Algebra I-II (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000).

Fuchs László: Algebra (ELTE egyetemi jegyzet).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Pálfy Péter Pál

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet