Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Analízis 4

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

4+2

magyar

 

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék: .

Kristóf János, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

Petruska György, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Bátkai András

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Buczolich Zoltán

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Czách László

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Izsák Ferenc

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Karátson János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Kristóf János

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Laczkovich Miklós

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Mezei István

egy. adjunktus

Alkalmazott Analízis Tsz

Petruska György

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Pfeil Tamás

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz

Sikolya Eszter

egy. tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz

Simon Péter

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szilágyi Tivadar

egyetemi docens

Alkalmazott Analízis Tsz

Szőke Róbert

egyetemi docens

Analízis Tanszék

Tóth Árpád

egyetemi docens

Analízis Tanszék

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a matematikus szakirány Analízis 3 tantárgy ismeretét feltételezi.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

Az Analízis 4 tárgyat matematikus szakirányon hirdetjük meg.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a mérték- és integrálelmélet alapjainak ismertetése.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Szigma-algebra, halmazrendszer által generált szigma-algebra, Borel-halmazok.

Szigma-additív halmazfüggvény, külső mérték, mérték. Mérték kiterjesztése, teljesség. Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-féle külső mérték és mérték, regularitás.

 

Mérhető függvények. Majdnem mindenütt való konvergencia.

Jegorov tétel. Mértékben való konvergencia. Luzin tétele.

 

Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-integrál. Függvénysorozatok és –sorok integrálása.

 

Előjeles mérték. Totális variáció.

Előjeles mérték Jordan-felbontása. Hahn felbontási tétele.

Radon-Nikodym tétel. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek. Lebesgue-felbontás.

 

Előjeles Borel-mértékek differenciálhatósága.

Fubini tétele mértékek végtelen összegének differenciálására.

Lebesgue-féle sűrűségpont tétel.

 

Monoton és korlátos változású függvények differenciálhatósága.

Abszolút folytonos függvények, szinguláris függvények, Newton-Leibniz formula.

 

Mértékterek szorzata. Fubini tétele a szorzatmérték szerinti integrálról.

Integráltranszformáció.

 

Lp-függvényosztályok. Konvolúció.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 4 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

Petruska György: Analízis II. (egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 1988.)

Császár Ákos: Valós analízis II. (Tankönyvkiadó, 1988.)

Komornik Vilmos: Valós analízis előadások II. (Typotex Kiadó, 2003.)

Járai Antal: Mérték és integrál (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002.)

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Keleti Tamás

egyetemi docens

Analízis Tanszék Matematikai Intézet

Sikolya Eszter

egyetemi tanársegéd

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet