Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Geometria 3M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

3+2

magyar

Matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

 

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy az elsősorban az euklideszi és affin geometria alapfogalmaira, valamint az absztrakt és lineáris algebra alapfogalmaira épít. Egyes témák megértéséhez hasznos a topológia és analízis bevezető fogalmainak ismerete.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Geometria 2M (matematikus szakirány) tárgy és az Algebra 2 tárgy (bármely szintjének) elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a magasabb dimenziós projektív és hiperbolikus geometria fogalmainak, eszközrendszerének kiépítése és néhány nevezetes eredményének a tárgyalása.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Projektív geometria

 

Projektív terek. A perspektív ábrázolás elemei. Az euklideszi tér kibővítése ideális térelemekkel. Egy affin tér kibővítése projektív térré. Projektív alterek, dimenzió-formula. Ferdetest feletti vektortérhez asszociált projektív terek. Reprezentáló vektorok és homogén koordináták. Desargues tétele. Papposz tétele és az alaptest kommutativitása. A valós projektív sík topológiája. Komplex projektív terek és a Hopf-fibrálás.

 

A projektív terek axiomatikus bevezetése. Az n-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómái. Az alterek örökölt projektív tér struktúrája. Duális tér, a dualitás elve. Desargues tétele és az illeszkedési axiómák. Kollineációk, izomorf terek. Alterek közti kollineációk kiterjesztése. Centrális axiális kollineációk és a Desargues tétel. Minden n ≥ 3-dimenziós projektív tér és minden desarguesi projektív sík izomorf egy ferdetest feletti projektív térrel, illetve síkkal.

 

FPn kollineációi. PGL(FPn) és a testautomorfizmusok által indukált csoport. A projektív geometria alaptétele.

 

Kettősviszony. Definíció, tulajdonságok. Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Papposz tétele a perspektív leképezésekről. Steiner-tengely. Harmonikus négyesek, a teljes négyoldal tétele. Fixpontok. Involúciók.

 

Alakzatsorok. Algebrai hiperfelületek projektív terei. Sorok. Példák sorokra: hipersíksorok; kör- és gömbsorok, ezek osztályozása; 4 általános helyzetű pontra illeszkedő másodrendű görbék sora. Desargues tétele egy másodrendű felületsor és egy egyenes metszetéről.

 

Másodrendű görbék és felületek. Analitikus megadás, regularitás. Konjugáltság, polaritás másodrendű felületre nézve. Érintő. Poláris geometriai szerkesztései. Egy másodrendű felület pontjainak polárisai, a dualitás elvének kiterjesztése. Másodrendű hiperfelületek projektív osztályozása. Kúpszeleti kettősviszony. Pascal és Brianchon tételei. Egy kúpszelet önmagába menő kettősviszonytartó leképezésének Steiner-tengelye. A Steiner-féle fixpont-szerkesztés.

 

Hiperbolikus geometria

 

F. Klein erlangeni programja. A klasszikus geometriák megadása az erlangeni program szellemében. A Minkowski-féle téridő, Lorentz-csoport, Poincaré-csoport. A hiperbolikus geometria hiperboloid modellje.

 

Hiperbolikus trigonometria. A távolság megadása és szögmérés. Pontból egy altérre állított merőleges. A háromszöggeometria képletei. A Cayley-Klein-modell. Egyenesek merőlegessége. A párhuzamosság Bolyai-féle definíciója, a párhuzamossági szög és párhuzamossági távolság.

 

Szférák. A gömbök, paraszférák és hiperszférák előállítása a hiperboloid-modell síkmetszeteiként, és modellfüggetlen definícióik.

 

A Poincaré-féle konform modellek.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

         Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.

         Marcel Berger: Geometry I–II. Springer-Verlag, 1987.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

            Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok          elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet