Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Számelmélet2-M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium 

2+0

magyar

matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Sárközy András, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Sárközy András

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék,

Matematikai Intézet

dr. Freud Róbert

egyetemi docens

dr. Károlyi Gyula

egyetemi docens

dr. Szalay Mihály

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a bevezető algebra, analízis és számelmélet anyag ismeretét követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele az Algebra2, Analízis2, és a Számelmélet1 tárgyak (bármelyik, de lehetőleg emelt szintjének) elvégzése.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja további számelméleti ismeretek elsajátítása.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Az analitikus és prímszámelmélet elemei. A Riemann-féle zeta-függvény definíciója 1-nél nagyobb valós számokra, Euler-féle szorzat-előállítása, alkalmazás végtelen sok prímszám létezésének bizonyítására. Nagy hézagok prímek között. Dirichlet tétele számtani sorozatok prímjeiről, speciális esetek.

 

Diofantikus egyenletek. Pitagoraszi számhármasok. A két négyzetszám probléma, Gauss-egészek. Más kvadratikus bővítések, van kvadratikus bővítés egyértelmű prímfaktorizáció nélkül. A Fermat-sejtés, részeredmények. A három és négy négyzetszám probléma, Lagrange tétele. A Waring probléma, g(k), G(k), alsó becslésük. Pell-egyenletek.

 

Diofantikus approximáció.  Dirichlet approximációs tétele.

 

Az algebrai számelmélet elemei. Algebrai szám, kanonikus polinom, tulajdonságai, algebrai egészek, a racionális számtest egyszerű algebrai bővítése. Transzcendens szám, Liouville tétele, transzcendens szám konstrukciója.

 

 Kitekintés további területekre. A kombinatorikus számelmélet elemei, Sidon-sorozatok. A generátorfüggvény-módszer, Fibonacci-számok. A geometriai számelmélet elemei, a körprobléma. Egyes számelméleti függvények értékeloszlása, a Hardy-Ramanujan tétel, a valószínűségi számelmélet elemei.

 

Megjegyzés. A fenti anyag egy része csak bizonyítás nélkül, illetve vázlatos felépítésben szerepel.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot.

 

11. Pótlási lehetőségek

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet

Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény

Szalay Mihály: Számelmélet

Sárközy András: Számelmélet

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Lásd 10.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Sárközy András

egyetemi tanár

Algebra és Számelmélet Tanszék

Matematikai Intézet