Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Algebrai topológia

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Szűcs András, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója: 

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Szűcs András

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Fehér László

egyetemi adjunktus

Analízis Tanszék

Tóth Árpád

egyetemi docens

Analízis Tanszék

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a Bevezetés a topológiába tantárgy ismeretét feltételezi.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

 

Fundamentális csoport bevezetése, érdekes alkalmazásainak bemutatása.

A sima sokaságokat és ezek leképezéseinek fokszámát bevezetve a magasabb

homotopikus csoportok elemi vizsgálata, ill. alkalmazása is lehetővé válik.

A kurzust záró Poincare Hopf tétel egyfelől a nyitó sündisznó tétel messzemenő általánosítása, másrészt a karakterisztikus osztályok előképe.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

 

Homotopikus ekvivalencia. Van Kampen tétel. Tórikus csomó fundamentális csoportja. CW komplexusok, fundamentális csoportjaik. A kanonikus felületek és fundamentális csoportjaik. Topologikus sokaságok, peremes sokaságok, a perempontok karakterizációja. Az 1-dimenziós sokaságok klasszifikációja. A zárt 2-dimenziós sokaságok klasszifikációja. Euler karakterisztika és irányítás --- teljes invariáns rendszer. n³ 4 dimenziós sokaságok fundamentális csoportja.

A Poincare hipotézis és általánosított Poincare-hipotézis. Differenciálható sokaságok. Topologikus sokaságokon megadható differenciálható struktúrák számáról.

pn(X) defin{í}ciója, kommutativitása.

 

A differenciálható sokaságok alkalmazása az algebrai topológiában; két technikai tétel.

pk(Sn), ha n³k.

 

Dimenzió invariancia, Borsuk-Ulam és Brouwer tételei n dimenzióban. A fokszám.

Poincare-Hopf tétel.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

Kötelező irodalom: Szűcs András, Bevezetés a Topológiába, internetes jegyzet,
 
http://www.cs.elte.hu/analysis/szucs/jegyzet

 40 80. old.

 

Ajánlott irodalom: W. S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Yale 1971;

J. W. Milnor: Topology from the differentiable viewpoint, Virginia 1965.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:  

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Szűcs András

egyetemi tanár

Analízis Tanszék Matematikai Intézet