Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Differenciálgeometria 1M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+3

magyar

Matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Verhóczki László, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy tananyagának elsajátításához szükség van alapvető geometriai és algebrai ismeretekre, továbbá a többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközeire.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tantárgy felvételének kötelező előfeltétele a Geometria 2M és az Analízis 3M (matematikus szakirány) tárgyak elvégzése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Reguláris sima görbe az n-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ivhossz. Természetes paraméterezés. A reguláris görbe görbülete. A görbe simulósíkja és simulóköre egy adott pontban. Az egyszerű ív fogalma.

Az Rn–beli általános típusú görbe kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Görbületi függvények. Frenet-formulák. Az azonos görbületi függvényekkel rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele. Általános típusú görbék az affin alterekben.

A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolútája, parallel görbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel. A konvex zárt síkgörbék jellemzése. A négy csúcspont tétele.

Az R3–beli görbe Frenet-bázisának, görbületének és torziójának meghatározása. Az R3–beli egyszerű zárt görbe teljes görbületével kapcsolatos tételek.

 

Sima elemi hiperfelület az n-dimenziós euklideszi térben. Az elemi hiperfelületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne (térfogata). A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi hiperfelület között. A sima hiperfelület fogalma. Az Rn téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe, mint sima hiperfelület.

Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület. Az umbilikus pontokból álló felületek.

Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. A forma-probléma. Gauss-egyenletek és Mainardi–Codazzi-egyenletek. Bonnet-tétele (a felületelmélet alaptétele).

Az elemi hiperfelület stacionárius görbéinek értelmezése. A stacionárius görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer (ívhossz szerinti paraméterezésnél). Párhuzamos érintő-vektormezők egy felületi görbe mentén. A hiperfelület geodetikus görbéi. A felületi görbe geodetikus görbülete.

Az R3–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. Dupin-indikátrix. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium. Az R3–beli felület Gauss-görbületének felszín szerinti integrálja. Az integrál meghatározása a felület gömbi képének felszíne alapján. Gauss–Bonnet-tétel.

Forgásfelületek és vonalfelületek  R3–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni. A zárthelyi dolgozatokra való felkészülés érdekében ajánlatos megoldani a gyakorlatokon kiadott házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat megírására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség az előadóval és a gyakorlatvezetővel a hallgatók igényeinek megfelelően.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki

Könyvkiadó, Budapest, 1979.

Verhóczki László: Klasszikus differenciálgeometria (kézirat, amely letölthető a

http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm  internetes honlapról).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése, a vizsgára való felkészülés, továbbá a házi feladatok megoldása és a zárthelyi dolgozatok megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Verhóczki László

egyetemi docens

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet