Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Komplex függvénytan                 (matematikus szakirány)

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

3+3

magyar

matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Halász Gábor, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Halász Gábor

egyetemi tanár

Analízis Tsz

Sigray István

szaktárgyi oktató

Analízis Tsz

Szőke Róbert

egyetemi docens

Analízis Tsz

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy feltételezi a komplex számok használatában való jártasságot, valamint az egy- és többváltozós valós analízis alapjainak az ismeretét.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Az Analízis III. (matematikus szakirány) elvégzése kötelező előfeltétel.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja bevezetés a valós analízistől eltérő szemléletet igénylő, ahhoz képest új jelenségeket felmutató egyváltozós komplex függvénytanba. Az összes klasszikus tételt részletes bizonyítással tárgyaljuk, egy ponton (egészfüggvények) kicsit a modern elmélet egy irányába is kitekintve.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Komplex számok és a komplex sík (rövid ismétlés).

 

Komplex értelemben vett differenciálhatóság. Cauchy-Riemann egyenletek. A komplex differenciálhatóság geometriai jelentése. A reguláris függvény fogalma.

 

Hatványsorok. Hatványsorok konvergenciája, egyértelműsége, az előállított függvény regularitása.

 

Exponenciális függvény definíciója a komplex síkon a hatványsorával, elemi tulajdonságai, a leképezés geometriai leírása. Trigonometrikus függvények. A logaritmus mint az exponenciális függvény többértékű inverze, a logaritmus reguláris ága. Hatványfüggvény, az általa létesített leképezés.

 

Komplex vonalintegrál definíciója, elemi tulajdonságai, kapcsolata valós vonalintegrálokkal. Komplex helyettesítéses integrálás.

 

Primitív függvény és úttól független integrál. Goursat lemma, Cauchy integrál tétele konvex tartományon. Goursat lemma szingularitásokkal, Cauchy integrálformulája konvex tartományon.

 

Zárt görbe indexe. Cauchy integráltételének általános alakja és annak speciális esetei.

 

Hatványsorba fejtés. Unicitás tétel(ek), függvényegyenletek permanencia elve. Folytathatóság a konvergenciakörön túl. Taylor sor, a logaritmus és a komplex kitevős hatványfüggvény Taylor sora.

 

Regluláris függvény lokális aszimptotikus viselkedése. Függvényérték multiplicitása. Kör- és szögtartás.

 

Maximum elv speciális és általános esete, a határon vett limesz szuperior definíciója. Schwarz lemma.

 

Hatványsor együtthatóinak a becslése. Liouville tétele. Polinomok jellemzése nagyságrenddel.

 

Körgyűrűn értelmezett függvény Laurent sorba való fejtése. Laurent sor konvergenciája, egyértelműsége. Racionális törtfüggvény Laurent sorba való fejtése parciális törtekre való bontással.

 

Izolált szingularitások osztályozása, jellemzése. Casorati-Weierstrass tétel. A végtelen mint izolált szingularitás.

 

A Reziduum tétel általános alakja. Alkalmazás valós improprius integrálok kiszámítására, végtelen sorok összegzésére.

 

Argumentum elv. Rouché tétele. A nyílt leképezés tétele, reguláris függvény lokális értékeloszlása, az inverz függvény regularitása.

 

Konform leképezés definíciója. Lineáris törtfüggvények, kettősviszony-, kör- és szimmetriatartásuk. Konform leképezés körök és félsíkok között.

 

A konform leképezések Riemann-féle alaptétele.

 

Mint a Riemann alaptétel bizonyításának segédtételei: Weierstrass tétele függvénysorozatok határértékének a regularitásáról. Vitali-Montel kiválasztási tétel. Hurwitz tétele. Reguláris függvény logaritmusának reguláris ága.

 

Jordan tartományok. Caratheodory tétele a köztük ható konform leképezések határra való kiterjesztéséről.

 

Tükrözési elv. Schwarz-Christoffel formula sokszögekre való leképezésre. Picard tételének a bizonyítása (háttérben) a moduláris függvény segítségével.

 

Végesrendű egészfüggvények definíciója. El nem tűnő végesrendű függvény jellemzése, szubordináció. Gyökök számának a becslése. Mittag-Leffler feladat előírt szingularitású függvény konstruálásáról. Egészfüggvények előírt gyökökkel, Weierstrass-féle szorzat. A Weierstrass szorzat becslése, rendje. Végesrendű egészfüggvény kanonikus alakja. Borel tétele végesrendű függvények kivételes értékeiről.

 

Harmonikus függvény mint reguláris függvény valós része. Jellemzés a Laplace egyenlettel. A középértéktulajdonság, Poisson formula körben harmonikus függvényre. Dirichlet feladat körre és Jordan tartományra.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: az előadás anyagának megértése, az alapfogalmak és az alapvető összefüggések elsajátítása. Az előadások látogatása nem kötelező, de különösen ajánlott.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a kötelező házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. A kollokviumra bocsátás előfeltétele egy, az alapfogalmak és az alapvető összefüggések ismeretét ellenőrző zárthelyi. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a vizsgaidőszakban minden vizsganap előtt. A szorgalmi időszakban a hallgatók igényei szerint az előadóval, illetve a gyakorlatvezetővel való külön megbeszélés alapján.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan, Komplex függvénytani füzetek III. 2. kiadás

                         (egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 2002).

Petruska György: Komplex függvénytan, 6. kiadás (Nemzeti Tankkönyvkiadó, 1998)

L. Ahlfors: Complex Analysis, (McGraw-Hill Company, 1979).

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Halász Gábor

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Matematikai Intézet