Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Valószínűségszámítás 2 - M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

3+3

Magyar

Matematikus

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Michaletzky György, Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Michaletzky György

egyetemi tanár

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

 

Matematika Intézet

dr. Móri Tamás

egyetemi docens

 

 

 

 

 

 

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a bevezető valószínűségszámítás alapvető ismereteit követeli meg.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Valószínűségszámítás 1 követelményeinek teljesítése.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az axiomatikus valószínűségszámítás elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.

 

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómarendszere. Valószínűségi változók eloszlása, eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. (Abszolút folytonos és diszkrét eloszlású valószínűségi változók.) A sűrűségfüggvény transzformációja diffeomorfizmus esetén.

Események, eseményrendszerek, valószínűségi változók függetlensége. A generált szigma-algebra függetlensége. Kolmogorov-féle 0-1 törvény.

Valószínűségi változók konvergenciájának alaptípusai. Sztochasztikus, 1 valószínűségű, Lp-beli konvergencia. Kapcsolat az egyes konvergenciafajták között. Egyenletes integrálhatóság. De la Vallée Poussin tétele.

Lévy egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összege sztochasztikus konvergenciájának és 1 valószínűségi konvergenciájának ekvivalenciája. Nagy számok gyenge törvényei. A Feller-féle gyenge törvény.

Valószínűségeloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, relatív kompaktság. Prohorov tétele. (Az egyik irány csak véges dimenziós Euklidészi tér esetén. [Az eloszlásbeli konvergencia jellemzése az eloszlásfüggvény viselkedésével. Helly-Brey-féle kiválasztási tétel.])

Karakterisztikus függvény. Inverziós formula. Dobb-egyenlőtlenség. Folytonossági tétel. Centrális határeloszlástétel bizonyítása karakterisztikus függvények segítségével. Lindeberg-Feller-féle határeloszlástétel. A konvergenciagyorsaságról. (Berry-Esséen-tétel.)

A feltételes várható érték általános fogalma. Alaptulajdonságok. Kiszámítása. Feltételes sűrűségfüggvény. A feltételes eloszlás reguláris változata.

Martingálok, maximál-egyenlőtlenségek. Martingál-konvergencia-tétel. Példa arra, hogy ennek feltétele nem szükséges az 1 valószínűségi konvergenciához.

A nagy számok erős törvényei. (Bizonyítás a Kronecker-lemma és martingálkonvergencia segítségével.) Kolmogorov-féle nagy számok erős törvénye.

Független tagú végtelen sorok konvergenciája. Kolmogorov-féle három sor tétel.

Martingálok L1 konvergenciája. Reguláris martingálok.

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 3 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

 

J. Mogyoródi- Á. Somogyi: Valószínűségszámítás, Egyetemi Jegyzet, 1989

L. Galambos: Advanced probability theory. Marcel Dekker, New York, 1995.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és a zárthelyik megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Michaletzky György

egyetemi tanár

Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék

Matematikai Intézet