Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Matematikus szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Differenciálgeometria 2M

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

hatodik

Kollokvium

2

Magyar

Matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Verhóczki László, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

dr. Lakos Gyula

egy. tanársegéd

dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy tananyagának elsajátításához szükség van az analízis, az algebra, a klasszikus differenciálgeometria, továbbá a topológia releváns fogalmainak és módszereinek az ismeretére.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tantárgy felvételének kötelező előfeltétele a Geometria 3M, a Differenciálgeometria 1M és a Bevezetés a topológiába M (matematikus szakirány) tárgyak elvégzése.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a sokaságok differenciálgeometriájának elméletéből az alapvető fogalmaknak és tételeknek a bemutatása, továbbá felhívni a figyelmet a differenciálgeometriának a fizikával és más tudományterületekkel való kapcsolatára.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

A topológikus sokaság C-kompatibilis térképei. C-osztályú teljes atlasz. Differenciálható sokaság. Nyílt részsokaság. A sokaságon vett differenciálható függvények. Sima leképezések a sokaságok között. A diffeomorfizmus.

A sokaság érintővektorainak értelmezése. A sokaság érintőtere egy adott pontban. A térképezéshez rendelt alapvektorok. A sokaság érintőterére vonatkozó bázis tétel. A sima leképezés érintőleképezése (egy adott pontban). Az érintőleképezésekre vonatkozó láncszabály. A sima görbe érintővektorai. Lokális diffeomorfizmus, az inverz leképezés tételének alkalmazása  sokaságokra.

A részsokaság fogalma. A térképezés koordináta-szeletei, mint részsokaságok. A részsokaságra vonatkozó kritérium. A sima leképezés reguláris értékének inverz képe, mint részsokaság.

Sima vektormezők a sokaságon. Parallelizálható sokaságok. A vektormező integrálgörbéi. Két vektormező Lie–zárójele. A sima vektormezők Lie–algebrája. Nevezetes mátrix Lie–algebrák.

A differenciálható sokaságon vett kovariáns tenzormezők. Kovariáns deriválás (lineáris konnexió). A kovariáns deriválásnak egy adott térképhez tartozó Christoffel–szimbólumai. A sima görbe mentén vett  vektormező kovariáns deriváltja. Az érintővektor párhuzamos  eltolása egy görbe mentén. A lineáris konnexió torziótenzora és görbületi tenzora. A tenzormező kovariáns deriváltja.

Riemann–sokaság. A Levi–Civita–féle lineáris konnexió. A Christoffel–féle szimbólumok kifejezése a metrikus tenzor komponensfüggvényeiből. Geodetikus görbék. A Riemann–sokaság görbületi tenzorára vonatkozó összefüggések. A síkálláshoz rendelt Gauss–görbület. Állandó görbületű terek.

Alternáló formák egy vektortéren. Differenciálformák egy sima sokaságon. Külső szorzat. A differenciálformák külső differenciálja. A differenciálforma sima leképezés általi visszahúzása. Térfogati formák.

Az egységosztás tétele sokaságon. Irányítható sokaságok. Az irányíthatóság kritériuma. Irányított sokaságon vett kompakt tartójú térfogati forma integrálja. A kompakt Riemann–sokaság térfogata.

A differenciálható sokaság reguláris tartománya. Térfogati forma integrálja az irányított sokaság egy kompakt reguláris tartományán. Az általános Stokes-tétel és alkalmazásai.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot.

 

11. Pótlási lehetőségek

Nincs pótlási lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

A hallgatók igényeinek megfelelően, rendszeres konzultációs lehetőség az előadóval.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe. Eötvös Kiadó, Budapest, 2002.

Verhóczki László: A sokaságok differenciálgeometriája (kézirat, amely letölthető a

http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm  internetes honlapról)

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése, a vizsgára való felkészülés.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

dr. Verhóczki László

egyetemi docens

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet