Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelezően választható tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Fourier integrál (matematikus szakirány)

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

hatodik

kollokvium

3

magyar

matematikus szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Halász Gábor, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Halász Gábor

egyetemi tanár

Analízis Tsz

Tóth Árpád

egyetemi docens

Analízis Tsz

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy feltételezi az egy- és többváltozós valós függvénytan (különös tekintettel a mértékelméletre, Lebesgue integrálra) és a komplex függvénytan alapjainak az ismeretét.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Az Analízis 4. (matematikus szakirány) és a Komplex függvénytan (matematikus szakirány) elvégzése kötelező előfeltétel.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja a Fourier integrál különböző értelmezéseinek és azok alapvető tulajdonságainak, néhány fontos Fourier technikának a bemutatása tipikus alkalmazásokon keresztül (a valós függvénytanban, a statisztikában, a valószínűségszámításban, a számelméletben).

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

L1-beli függvény Fourier integrálja. Riemann lemma. Konvolúció és Fourier integrál.

Inverziós képletek.

 

Wiener approximációs tétele. Wiener általános Tauber típusú tétele.

 

Komplex mérték Fourier integrálja. Inverziós képletek. Wiener tétele a Fourier integrál négyzetes közepéről. Példa szinguláris mérték Fourier integráljára.

 

Fourier integrál L2-ben. Parseval formula. A Fourier transzformáció mint unitér operátor.

 

Az L2 elmélet alkalmazása a nemparaméteres sűrűségfüggvénybecslés statisztikai elméletében. Konvolúció Lp-ben. A derivált Fourier integrálja.

 

Fourier integrál Lp-ben. Young-Hausdorff egyenlőtlenség. Riesz-Thorin és Marczinkiewicz interpolációs tétele.

 

Számsorozatok egyenletes eloszlása. Erdős-Turán felső becslés a diszkrepanciára. Alsó becslés körök diszkrepanciájára a síkon.

 

Poisson összegzési formula, Alkalmazás a Selberg szitamódszerben.

 

Fourier integrál a komplex síkon. H2-beli függvények jellemzése félsíkon. Paley-Wiener tétel korlátos tartójú függvények Fourier integráljának a jellemzéséről.

 

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 1 óra gyakorlat kiscsoportos bontásban, lehetőség és igény szerint különböző szinteken. A gyakorlaton feladatmegoldás formájában az előadást kiegészítő tételeket dolgozunk fel.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: az előadás anyagának megértése, az alapfogalmak és az alapvető összefüggések elsajátítása. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlott.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlatok elvégzésébe beleértendő a kötelező házi feladatok megoldása és előadása. A feladatok jelentős része nehéz, önálló megoldást nem várunk el a hallgatóktól: a gyakorlatvezető minden szükséges útmutatást megad, de követelmény a részletes kidolgozás és előadás.

b.       A vizsgaidőszakban: sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot.

 

11. Pótlási lehetőségek

Aki a gyakorlat követelményeit a szorgalmi időszakban nem teljesíti, a vizsgaidőszakban már

 nem pótolhatja be.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a vizsgaidőszakban minden vizsganap előtt. A szorgalmi időszakban a hallgatók igényei szerint az előadóval, illetve a gyakorlatvezetővel való külön megbeszélés alapján.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Halász Gábor: Fourier integrál, Komplex függvénytani füzetek I., 3. kiadás

                         (egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 2005).

E.C. Titchmarsh: Introduction to the Theory of Fourier Integrals (Clarendon Press, Oxford,

                               1937).

A. Zygmund: Trigonometric Series (University Press, Cambridge, 1968).

N. Wiener: The Fourier Integral and Certain of Its Applications (Dover Publications, New

                    York, 1933).

J.-P. Kahane, R. Salem: Ensambles parfaits et séries trigonometriques (Hermann, Paris,

                                          1963).

I.A. Ibragimov, R.Z. Hasminszki: Statistical Estimation. Asymptotic Theory (Springer, Applications of Mathematics 16, New York, 1981).

L. Kuipers, H. Niederreiter: Uniform Distribution of Sequences (J. Wiley, New York,

                                                 1987).

J. Beck, W.L. Chen: Irregularities of Distribution, (University Press, Cambridge, 1987).

H.L. Montgomery: Topics in Multiplicative Number Theory (Springer, Berlin, 1971).

E. Bombieri: Le grand crible dans la théorie analytique des nombre (Soc. Math. France,

                       1974).

R. Paley, N. Wiener: Fourier Transforms int he Complex Domain (Amer. Math. Soc., New

                                    York, 1934).

 

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés, továbbá a házi feladatok elkészítése és előadása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Halász Gábor

egyetemi tanár

Analízis Tanszék

Matematikai Intézet