Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2005.

Tantárgycím: Funkcionálanalízis II, alapszint

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

hatodik

kollokvium + gyakorlati jegy

4

magyar

mat, alk.mat.

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Sebestyén Zoltán, Alkalmazott Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

 

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék:

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz

 

 

 

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

Funkcionálanalízis 1 félév.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

Funkcionálanalízis 1 félév.

 

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy bevezetést ad a lineáris funkcionálanalízis modern elméletébe. Ennek kapcsán mintegy szintézisét adja a valós és komplex függvénytan, az algebra, a mérték és integrálelméletben alapozásként megtanultaknak.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

Banach-algebrák: inverz előállítása Neumann-sorral, spektrum, spektrál sugár. Rezolvens azonosság, analitikusság. Spektrum viselkedés bővítés esetén. Gelfand-Mazur tétel. A spektrál-sugár tétel. Ford lemmája négyzetgyökvonásra. Alaoglu tétele, mint Banach tételének általánosítása. Gelfand elmélete: kommutatív Banach algebrák előállítása folytonos függvények algebrájaként kompakt Hausdorff-tér fölött. A Gelfand-transzformált és tulajdonságai. A maximál ideál tér azonosítása a karakterek terével. Féligegyszerű kommutatív Banach algebrák. A kommutatívitás feltételei: Hirschfeld-Zelazko tétel. Wiener tétele abszolút konvergens Fourier sorokra. Kommutatív Gelfand-Naimark tétel kommutatív kompaktifikáció C*-algebrák előállítására. Stone-Cech Stone-Weierstrass tétel, ennek Bishop féle változata. Nemkommutatív Gelfand-Naimark tétel: C*-algebrák előállítása operátoralgebrákként Hilbert téren. Daniel-Stone tétel, spektráltétel Segal, ill. Dunford változata normális, ill. önadjungált folytonos lineáris operátorokra Hilbert téren.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 1 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra gyakorlat.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos. A gyakorlatokon a részvétel kötelező.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

Riesz-Sz-Nagy: Funkcionálanalízis (egyetemi tankönyv)

Losonczi László: Funkcionálanalízis I. (egyetemi jegyzet)

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

Az előadási anyag megértése és a vizsgára felkészülés.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Sebestyén Zoltán

egyetemi tanár

Alkalmazott Analízis Tsz.  Matematikai Intézet