Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Tanári szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Geometria 3T

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

negyedik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

Tanári szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Böröczky Károly, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy tananyagának elsajátításához szükség van az euklideszi geometria, továbbá az algebra alapvető fogalmainak és tételeinek az ismeretére.

 

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Geometria 2T tárgy (tanári szakirány) elvégzése, valamint az Algebra 2T tárgy előzetes elvégzése vagy egyidejű fölvétele.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az euklideszi sík másodrendű görbéivel kapcsolatos ismeretek elsajátítása, továbbá a hallgatók megismertetése a projektív geometria elemeivel. Hangsúlyt helyezünk az iskolai matematikaanyaggal való kapcsolat bemutatására.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

Kúpszeletek.

Az egyes kúpszeletfajták definíciója. Kúpszeletek származtatása vezéralakzatok segítségével.

Kúpszeletek kanonikus egyenletei. A kanonikus helyzetű koordináta-rendszer felvétele, a kanonikus egyenlet levezetése.

Forgáskúpok síkmetszetei. A forgáskúp származtatása. Egy sík metszete a kúp palástjával, belsejével, külsejével, Dandelin-gömbök. Kúpszeletek egységes származtatása azon pontok mértani helyeként, melyeknek egy egyenestől és egy ponttól mért távolságuk hányadosa állandó.

Érintők. Az érintő definíciója, egyértelmű létezése és szögfelező-tulajdonsága. Fókusz tükörképeinek mértani helye. A hiperbola aszimptotái.

Másodrendű görbék. Másodrendű görbék az euklideszi síkon. A síkbeli főtengely-transzformáció. A másodrendű görbék osztályozási tétele. Kúpszeletek képe affin transzformációnál.

 

A projektív geometria elemei.

Ideális térelemek. Az ideális pontok bevezetése. A projektív egyenes, sík és tér. Illeszkedési tulajdonságok.

Projektív sík. A sugárnyaláb modell. Pontok és egyenesek meghatározó vektorai, homogén koordináták. A síkbeli dualitás elve.

Illeszkedési tételek. Desargues tétele, Papposz tétele.

Kettősviszony. A kollineáris pontnégyes kettősviszonya. A sugárnégyes kettősviszonya. Papposz tétele a kettősviszonyról.

Harmonikus négyes. Harmonikus pont- és sugárnégyes. A harmonikus elválasztás. A teljes négyoldal tétele.

Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Ekvivalens definíciók, megadás három ponttal és képeikkel. Perspektív leképezések jellemzése. Steiner-tengely. Egy egyenes önmagába menő kettősviszonytartó leképezéseinek csoportja. Osztályozás a fixpontok száma szerint. Involúció megadása két pontpárral. A két pontpár elválasztási tulajdonságainak és a fixpontok számának kapcsolata.

Kollineációk. A sík projektív általános lineáris transzformációinak PGL(S) csoportja. A projektív általános lineáris transzformációk megadása négy általános helyzetű ponttal és képeikkel. Kollineációk. A projektív geometria alaptétele.

Pascal tétele. Köri kettősviszony és kúpszeleti kettősviszony. Pascal tétele.

Polaritás. Az euklideszi sík másodrendű görbéjének projektív lezárása. Konjugált pontok egy másodrendű görbére vonatkozóan. Poláris, pólus, ezek geometriai tulajdonságai. A dualitás elvének kiterjesztése kúpszeletek pontjairól és érintőiről szóló tételekre. Brianchon tétele.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

         Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1960-1999.

Horvay Katalin – Reiman István: Projektív geometria. Tankönyvkiadó, 1991.

Kiss György – Szőnyi Tamás: Véges geometriák. Polygon, 2001.

Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, 1986.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

            Az előadási anyag megértése és felkészülés a vizsgára, továbbá a házi feladatok          elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

 

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet