Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Matematika Alapszak

Tanári szakirány

Kötelező tantárgy

Tantárgy Adatlap

és tantárgykövetelmények

2006.

Tantárgycím: Geometria 4T

2.

Tantárgy kódja

félév

Követelmény

Kredit

Nyelv

Modul/
szakirány

 

 

ötödik

kollokvium + gyakorlati jegy

2+2

magyar

Tanári szakirány

 

3. A tantárgyfelelős személy és tanszék:

Dr. Böröczky Károly, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

4. A tantárgy előadója:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Bezdek Károly

egyetemi tanár

Geometriai Tanszék,

Matematikai Intézet

Dr. Böröczky Károly

egyetemi tanár

Dr. Böröczky Károly, ifj.

tudományos főmunkatárs

Dr. Csikós Balázs

egyetemi docens

Dr. Kertész Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Kiss György

egyetemi docens

Dr. Lakos Gyula

egyetemi tanársegéd

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Dr. Verhóczki László

egyetemi docens

 

5. A tantárgy az alábbi témakörök ismeretére épít:

A tárgy a sík- és térgeometria alapjain túl az egy- és többváltozós differenciál- és integrálszámítás alapfogalmaira, valamint projektív síkgeometriára és a síkbeli inverzív geometria ismeretére épít.

6. Kötelező/ajánlott előtanulmányi rend:

A tárgy felvételének kötelező előfeltétele a Geometria 3T tárgy elvégzése, valamint az Analízis 3T tárgy előzetes elvégzése vagy egyidejű fölvétele.

Kollokvium csak a gyakorlat sikeres teljesítése esetén tehető.

7. A tantárgy célkitűzése:

A tárgy célja az analitikus geometria eszközrendszerének és főbb fogalmainak elsajátítása, valamint a Bolyai-féle hiperbolikus síkgeometria modelljein keresztül a nemeuklideszi geometria megismerése.

 

8. A tantárgy részletes tematikája:

 

            Görbék és felületek. Sík- és térgörbék paraméteres előállítása, nevezetes görbék    paraméterezései. Sebességvektor, sebesség, reguláris görbe, érintő. Ívhossz, reguláris    görbék természetes paraméterezése.

 

            Paraméteres sík- és térgörbék görbülete: a görbület szemléletes származtatása,            formális definíciója és kiszámítási képletei. Néhány nevezetes görbe görbületi            viselkedése. Simulósík, főnormális vektor, simulókör. Frenet-féle képletek. Állandó görbületű síkgörbék.

 

            Felületek megadása egyenlettel. Fontosabb felülettípusok: forgásfelületek,        hengerfelületek, kúpfelületek. Másodrendű felületek.

 

            Felületek paraméteres előállítása. Néhány fontos felülettípus paraméterezése.   Paramétervonalak, a parciális deriváltak geometriai jelentése. Reguláris          paraméterezés, érintősík. Szög és ívhossz meghatározása paraméteres felületen. A       Gauss-féle első főmennyiségek, felületek belső geometriája.

 

            Terület és térfogat. Sokszögek területe és poliéderek térfogata. Az elemi terület- és             térfogatfogalom, valamint ezek kapcsolata a Jordan-mérték fogalmával. A terület és a   térfogat meghatározása integrálás segítségével. Szukcesszív integrálás, Cavalieri-féle    elv. Az affin, hasonlósági és egybevágósági transzformációk hatása a területre, illetve             a térfogatra.

 

            Kerület és felszín. Az elemi kerület- és felszínfogalom konvex síkidomok, illetve       testek esetére. Az ívhossz és a kerület kapcsolata. Felszínszámítás integrálással.          Gömbkétszögek és gömbháromszögek felszíne, a Girard-formula.

 

            Nemeuklideszi geometria. Axiómák és modellek a geometriában. A párhuzamossági           axióma tudománytörténeti szerepe.

 

            A hiperbolikus sík CayleyKlein-féle projektív modellje. Projektív transzformációk, mint a hiperbolikus sík egybevágóságai. Sugársorok a hiperbolikus síkon. A   hiperbolikus sík Poincaré-féle konform modellje. Az inverzió és a körsorok szerepe         a Poincaré-modellben.

 

            A projektív modell és a konform modell izomorfizmusa. Trigonometriai képletek a       hiperbolikus geometriában. Háromszögek területe és szögdefektusa.

 

9. A tantárgy oktatásának módja:

Heti 2 óra előadás, és az előadás anyagát követő, heti 2 óra feladatmegoldó gyakorlat kiscsoportos bontásban.

 

10. Követelmények

a.       A szorgalmi időszakban: Az előadás anyagának megértése. Az előadások látogatása nem kötelező, de ajánlatos.

          A gyakorlatokon a részvétel kötelező. A gyakorlati jegy megszerzéséhez két zárthelyi dolgozatot kell írni, valamint meg kell oldani a házi feladatokat.

b.       A vizsgaidőszakban: Sikeresen teljesíteni kell a kollokviumot. Az elégtelen gyakorlati jegy javítása gyakorlati jegy utóvizsgával a vizsgaidőszak során egy ízben megkísérelhető.

 

11. Pótlási lehetőségek

A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

 

12. Konzultációs lehetőségek

Rendszeres konzultációs lehetőség a hallgatók igényei szerint, az előadóval és a gyakorlatvezetővel.

 

13. Jegyzet, tankönyv, felhasználható irodalom:

         Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti Tankönyvkiadó, 1960-1999.

            Hajós György, Strohmajer János: A geometria alapjai. Nemzeti Tankönyvkiadó,   1996.

 

14. A tantárgy elvégzéséhez szükséges tanulmányi munka:

            Az előadási anyag megértése és felkészülés a vizsgára, továbbá a házi feladatok          elkészítése és a zárthelyi dolgozatok megírása.

15. A tantárgy tematikáját kidolgozta:

Név:

Beosztás:

Tanszék, Int.:

Dr. Moussong Gábor

egyetemi adjunktus

Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet