Ez az eredeti felhívás módosított változata, de teljes egészében tartalmazza a régit is. Ami a régiböl megváltozott, azt halványszürkével jelöltük, az újat pedig pirossal.


Felhívás

Kedves Kutatók és Oktatók!

Ezt a levelet reményeink szerint minden az ELTE-n vagy a MAKI-ban dolgozó kutató és oktató megkapta. Ha valaki kimaradt volna, akit érdekelhet, kérjük, küldjék el neki.

Ez természetesen a nem az ELTE-n vagy a MAKI-ban dolgozó kutatókra és oktatókra is érvényes.

Szeretnénk összegyûjteni és nyilvánosságra hozni megoldatlan, de nem megoldhatatlan matematikai problémákat. A nem megoldhatatlan azt jelenti, hogy nem láthatóan reménytelen a megoldása egy egyetemista vagy fiatal kutató számára - ettõl persze még nagyon nehéz is lehet.

Egy probléma kitûzésének fõ kritériuma, hogy a kitûzõt személyesen érdekelje annyira, hogy hajlandó legyen az esetleges megoldásokkal vagy jónak tûnõ ötletekkel foglalkozni. Ezen belül semmilyen megszorítást nem tennénk. A lényeg a személyesség, az, hogy aki gondolkozik a problémán, tudja, hogy ez rajta kívül valakinek fontos, akivel beszélhet is róla és tudja, hogy van értelme a kérdésnek.

A mi szerepünk az, hogy közvetítsünk a kitûzõ és a feladatot olvasó között. Majdnem mindenkinek van olyan jó kérdése, amire szeretné tudni a választ, de nem mindenkinek van ideje vagy energiája arra, hogy másokkal foglalkozzon. Akinek igen, az írja le a feladat mellé, hogy hogyan lehet elérni. Akinek nem, ahelyett vállaljuk, hogy az esetleges megoldásokat megnézzük és ha nem találunk benne hibát, akkor továbbítjuk a kitûzõnek.

Azt tapasztaltuk, hogy mindenki vállalja azt, hogy foglalkozzon az érdeklödökkel. Ennek nagyon örülünk, de azért fenntartjuk az elözöben írtakat is, ha valakinek erre nem lenne ideje.

Az alábbiakban leírjuk, hogyan próbáltuk egységes keretbe foglalni a feladatokat. Ha valakinek jobb javaslata van, szívesen fogadjuk.

Probléma: legfeljebb Schweitzer-szinten megfogalmazható bonyolultságú matematikai probléma. Elõnyös, ha a lehetséges válasz egyszerû (eldöntendõ kérdés), de lehet akár ‘kinek mi jut eszébe errõl a dologról’ típusú is.

A probléma jele:
(T) teljes feladat: magában is értelmes, kerek kérdés
(R) részfeladat: egy nagyobb kérdésen belül van értelme, pl. "oldd meg ezt a differenciálegyenletet", ide lehet küldeni bármilyen technikai jellegû feladatot vagy számolást is, ha valamiért fontos
(?) nem ismert nehézségû
(N) valószínûleg nehéz probléma, pl. a kitûzõ néhány éve nem tudja megoldani
(M) megoldott, de érdekes probléma (esetleg más megoldatlanhoz kapcsolódó)

Kísérõszöveg: ‘mese’ a problémáról és környezetérõl, a probléma eredete.

Kapcsolódó anyag: ha egy negyedéves matematikus hallgató várhatóan nem érti meg a problémában szereplõ fogalmakat, akkor egy könyv vagy cikk, ahol utánaolvashat. Adott esetben a problémakör referenciája.

Kitûzõ: a probléma kitûzõjének neve és hogy hogyan lehet elérni (email-cím).

Természetesen az utolsó három csak akkor, ha a kitûzõ szükségesnek látja.

Itt komoly változások történtek. Voltak olyan összekapcsolódó problémakörök, amiket nem lehetett szétszedni (ld 1. problémakör) egyes problémákra. Ezért szívesen látunk a 4-eshez hasonló hosszabb szövegeket is.

Közvetlenül LaTeX formátumú szöveget tudunk használni. Aki nem szeret gépelni, írja le egy papírra és begépeljük mi. Ehhez az kell, hogy email-ben megbeszéljünk egy találkozót vagy megtaláljon minket. Aki beírja a ‘finger mp@cs.elte.hu’ parancsot, mindig kiolvashatja, hogy az adott héten mikor és hol vagyunk biztosan megtalálhatóak.

A problémák egy faliújságon illetve ezen a Web-oldalon találhatóak majd meg. Az esetleges megoldások, ötletek, részmegoldások vagy hozzánk, vagy közvetlenül a kitûzõhöz érkeznek attól függõen, hogy megadja-e a nevét és azt, hogy hogyan lehet elérni. A hozzánk érkezõ megoldásokat átolvassuk vagy megbeszéljük és amennyiben nem találunk hibát benne, továbbítjuk a kitûzõnek. Ez bizonyos fokú garanciát jelent arra nézve, hogy a kitûzõnek nem kell teljesen rossz bizonyításokkal foglalkoznia.

Szeretnénk visszajelzést kapni arról, ha egy kitûzött probléma megoldódik, hogy mások ezt minél gyorsabban megtudják.

Szívesen vesszük azt is, ha valaki egy adott probléma fenti opcionális jellemzõit (kísérõszöveg és kapcsolódó anyag) kiegészíti. Természetesen ezeken csak a kitûzõ engedélyével változtatunk.

Az anyagot hetente folyamatosan frissítjük a faliújságon és a Web-oldalon. Ha egy problémával láthatóan sokan foglalkoznak, össze lehet hívni egy megbeszélést róla.

Ideírunk egy példaproblémát, egyelõre LaTeX-ben.

Probléma: Legyen F : R -> R olyan függvény, amelyre a D_hF(x) = F(x+h) - F(x) differenciafüggvények minden h valós számra Borel-mérhetõek. Igaz-e, hogy van olyan
\alpha < \omega_1 rendszám, amelyre D_hF Borel-osztálya legfeljebb \alpha minden h-ra?

A probléma jele: T, N

Kísérõszöveg: Megjegyzendõ, hogy a differenciafüggvények Borel-mérhetõségébõl nem következik F Borel-mérhetõsége. Például ha F additív, azaz kielégíti az F(x + y) = F(x) + F(y) egyenletet, akkor F lehet nem-mérhetõ, de az összes differenciafüggvény szükségképpen konstans. Ha feltesszük, hogy igaz a kontinuumhipotézis, akkor van olyan F is, ami korlátos és nem mérhetõ, de F minden differenciafüggvénye megszámlálható sok x kivételével 0. Ekkor azonban a differenciafüggvények mind Baire-2 tulajdonságúak.

Kapcsolódó anyag: A problémát Lackovich Miklós 1980-ban publikálta ‘Functions with measurable differences’ címû cikkében (Acta Math. Hungar. 35 (1980), 217-235).

Kitûzõ: Lackovich Miklós, 1998 szeptember 15.

Szívesen fogadunk bármilyen segítséget, kérdést és javaslatot. A tervek szerint október végéig (a költözés utánig) összegyûjtenénk az elsõ adag feladatot.

Most, azaz december elején jelent meg az elsó adag.

Abért Miklós, Szegedy Balázs, Hegedûs Pál (Palit felvették Cambridge-be) matematikus doktoranduszok

email:mp@cs.elte.hu