Alapfogalom, axióma, definíció, tétel, bizonyítás

A matematika fogalmai kétfélék. Vannak olyanok, amelyeket alapfogalmaknak fogadunk el: ezeket nem vezetjük vissza más fogalmakra. Ilyen alapfogalom például a halmaz és a halmazhoz való hozzátartozás. A többi fogalmat származtatottaknak tekintjük, és definiáljuk õket. Az értelmezõ szótárak definícióitól eltérõen (ahol a szavak köznapi értelmét próbálják meg szabatosan elmagyarázni) a matematikai definíció a szóban forgó fogalom matematikai jelentését teremti meg. Például:
Az olyan halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük.

Ugyanannak a fogalomnak több, egymással egyenértékû (ekvivalens) definíciója is megadható. Például, ha A és B halmaz, akkor ezek egyenlõségét értelmezhetjük így:

A egyenlõ B-vel, ha A mindegyik eleme hozzá tartozik B-hez, és B mindegyik eleme hozzá tartozik A-hoz.

Ezzel egyenértékû definíció:
A egyenlõ B-vel, ha A-nak nincs olyan eleme, amely nem tartozik hozzá B-hez, és B-nek sincs olyan eleme, amely nem tartozik hozzá A-hoz.

A matematikában axiómának nevezünk egy bizonyítás nélkül elfogadott állítást. Például, a fenti alapfogalmakkal kapcsolatos axióma (lásd Kósa András: Útban a felsôbb matematikához, 10. oldal):

Bármely halmazzal és bármely dologgal kapcsolatban megköveteljük, hogy ez az utóbbi vagy tartozzék hozzá a halmazhoz, vagy ne tartozzék hozzá; mind a kettô egyszerre nem teljesülhet.

Tételnek olyan állítást nevezünk, amelyet más, már igazolt vagy elfogadott ismerettel kell megokolni (bizonyítani). Példaként tekintsük az alábbi tételt és annak bizonyítását.

Tétel. Ha A is, B is üres halmaz, akkor A = B.

Ha olyan feladatot kell megoldanunk, amelyben valamely definiált fogalom szerepel, akkor választhatunk a különböző egymással ekvivalens definíciók közül. Sok múlhat ilyenkor azon, hogy a feladatnak megfelelő definíciót választjuk-e. Ezt illusztrálja a tétel bizonyítása, amelyben két halmaz egyenlôségének második definíciója vezet célra.

Bizonyítás. Mivel az A halmaznak egyáltalán nincs eleme, ezért olyan sincs, amely nem tartozik hozzá B-hez. Ugyanígy: B-nek sincs eleme, így olyan sincs, amely nem tartozik hozzá A-hoz. Ezért a fenti második definíció szerint A = B.


Vissza Fodor János lapjára.

Készítette © Fodor János. Utoljára frissíve: 1998 szeptember 2.