24. Differenciálegyenletek

A természettudományok számtalan területén fordul elő, hogy egy természeti törvényt matematikai alakban úgy írhatunk le, hogy egy vagy több összefüggést találunk egy állapot időbeli, térbeli értéke és az állapot megváltozása között. A matematikában ez azt jelenti, hogy egy vagy több egyenletet állítottunk fel egy függvény és a deriváltjai között.

Egyszerű példák erre a szaporodási illetve bomlási folyamatokat leíró egyenletek. Ilyen például a hőátadási (hűlési) törvény: a hőmennyiség átadásának sebessége egyenesen arányos a hőmérséklettel. De hasonló törvény írja le a radioaktív bomlást is.

A matematika nyelvére fordítva keressük tehát azokat az időtől függő függvényeket, amelyekre
Tétel:Az exponenciális függvény differenciálegyenlete. Ha egy intervallumon a deriválható függvényre teljesül, hogy . akkor megadható egy konstans úgy, hogy
Definíció:Közönséges differenciálegyenletek.
A "közönséges" szó arra utal, hogy a differenciálegyenlet megoldásait az egyváltozós függvények körében keressük. A többváltozós függvények esetén is felírhatunk differenciálegyenleteket. Ilyenkor a keresett függvény parciális deriváltjai szerepelnek az egyenletekben. Ez indokolja, hogy ezeket az egyenleteket parciális differenciálegyenleteknek nevezzük. A továbbiakban csak közönséges differenciálegyenletekkel foglalkozunk, ezért a "közönséges" szót elhagyjuk.

Mint láttuk, egy differenciálegyenlet megoldásai még a legegyszerűbb esetekben sem egyértelműek. Általában a megoldások annyi szabadon választható paramétertől függenek, mint a differenciálegyenlet rendje.

24.1. Elsőrendű differenciálegyenletek

Definíció:Szeparábilis (szétválasztható változójú) differenciálegyenletek. Legyen és két egyváltozós függvény. Az
alakú elsőrendű differenciálegyenletet szeparábilis differenciálegyenletnek nevezzük.
Tétel: Ha az szeparábilis differenciálegyenletben szereplő függvény egy intervallumon sehol sem nulla, valamint az -nek, pedig a -nek primitív függvénye, akkor egy deriválható függvény pontosan akkor megoldása a differenciálegyenletnek, ha megadható egy konstans úgy, hogy esetén
Megjegyzés: Tehát a szeparábilis differenciálegyenlet összes megoldását implicit alakban adja meg a fenti formula. Néhány esetben az függvény kifejezhető az egyenletből, azaz explicit alakban is megkaphatjuk. Erre legjobb példa az elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenlet.
Definíció:Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet.
  • Az alakú differenciálegyenleteket elsőrendű lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
  • Az alakú egyenletet elsőrendű homogén lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
  • Ha az függvény állandó, nem függ -től, az egyenletet állandó együtthatós elsőrendű lineáris differenciálegyenletneknevezzük.
Megjegyzés: A "lineáris" szót az indokolja, hogy ha egy homogén egyenletnek és is megoldása, , akkor az és függvények is megoldások, azaz a homogén egyenlet megoldásai lineáris vektorteret alkotnak.
Tétel:Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása.
  • Ha a lineáris differenciálegyenlet esetén jelöli a függvény egy primitív függvényét, akkor az egyenlet összes megoldása az
    alakú függvények.
  • Ha az lineáris differenciálegyenlet esetén a megfelelő homogén egyenlet egy nem triviális (nem azonosan nulla) megoldása, pedig az (inhomogén) egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, akkor az összes megoldás az
    alakú függvények, ahol tetszőleges konstans.
Megjegyzés: Gyakran kényelmesebb a megoldásokat a második tétel alapján megkeresni, mit az első tétel bonyolult formuláját alkalmazni:
A homogén egyenlet "könnyen" megoldható, mert szeparábilis.
Egy partikuláris megoldást pedig gyakran megkaphatunk az úgynevezett próbafüggvény módszerrel. Ez abban áll, hogy a megoldást speciális alakú (pl. másodfokú polinomok) függvények körében keressük. Ez egy vagy több ismeretlen paramétert (együtthatót) jelent a próbafüggvényben, amelyekre az egyenletbe való behelyettesítés után numerikus egyenletet illetve egyenletrendszert kapunk.
Tétel:Newton-féle hűlési törvény. Ha jelöli a külső hőmérsékletet, akkor a Newton-féle hűlési törvény szerint egy (pontszerű) test hőmérsékletének, -nek a változása arányos a test és a környezet hőmérsékletének a különbségével, azaz
ahol rögzített, a test anyagára és alakjára jellemző pozitív konstans.
Ha a test hőmérséklete a időpontban , akkor
Tétel:A radioaktív bomlás törvénye. Jelölje egy radioaktív anyagban levő még el nem bomlott atommagok számát, pedig a felezési időt, azaz azt az adott anyagra jellemző időt, ami idő alatt az atommagok száma a felére csökken.
A radioaktív bomlás törvénye szerint ez az időtartam egy anyagi állandó, nem függ az anyagban levő atommagok számától. Ugyanezen törvény szerint a bomlás sebessége, az aktivitás egyenesen arányos a még el nem bomlott atommagok számával. Pontosabban:
Ennek megoldása, ha jelöli a időpontban az anyagban levő atomok számát, akkor
Ezt a formulát exponenciális bomlási törvénynek nevezik.
Megjegyzés:Radioaktív kormeghatározás. Ha ismerjük a radioaktív anyag felezési idejét, valamint az elbomlott és az el nem bomlott atommagok számainak arányát egy régebbi időpontban, az anyag "keletkezésének korában", és most, az exponenciális bomlási törvény alapján ki tudjuk számolni a radioaktív anyag keletkezésének korát. Ez a "keletkezési kor" az az időpont, amikor feltételezhető, hogy a kétféle anyag arányának változása csak a radioaktív bomlás következménye. Egy élő anyagban a szénizotóp arányát állandónak tekintjük és az élet megszűnte után az izotóp aránya csak a bomlás miatt változik.

24.2. Másodrendű lineáris differenciálegyenletek

Definíció:
  • Másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet. Az
    alakú differenciálegyenleteket másodrendű homogén lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük.
  • Másodrendű inhomogén lineáris differenciálegyenlet. Az alakú differenciálegyenleteket másodrendű inhomogén lineáris differenciálegyenleteknek nevezzük ha a függvény nem azonosan nulla.
  • Alaprendszer. Az függvény pár az másodrendű homogén lineáris differenciálegyenlet alaprendszere, ha az egyenlet minden megoldása előáll alakban.
Tétel:Másodrendű lineáris differenciálegyenlet megoldása.
  • Ha és két megoldása az homogén egyenletnek, és két tetszőleges valós szám, akkor az
    is megoldása a homogén differenciálegyenletnek.

    A fenti állítást úgy is megfogalmazhatjuk, hogy egy adott (másodrendű) homogén differenciálegyenlet megoldásai a függvények közötti összeadásra és a valós számmal való szorzásra nézve lineáris vektorteret alkotnak. A következő állítás azt mondja ki, hogy ennek a vektortérnek a dimenziója kettő.
  • Az másodrendű homogén lineáris differenciálegyenletnek mindig van alaprendszere.
  • Az másodrendű lineáris homogén differenciálegyenlet két megoldása, pontosan akkor alaprendszer az intervallumon, ha a
    Wronski-féle determináns sehol sem nulla.
  • Ha az inhomogén egyenletnek egy (partikuláris) megoldása, pedig a megfelelő homogén egyenlet egy alaprendszere, akkor az inhomogén egyenlet összes megoldása az
    alakú függvények.

    A fenti állítás azt mondja ki, hogy az inhomogén egyenlet tetszőleges megoldását úgy kaphatjuk meg, hogy egy rögzített partikuláris megoldáshoz hozzáadjuk a homogén egyenlet egy tetszőleges megoldását.
Definíció:Másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet.
  • Ha és két valós szám, pedig egy valós függvény, akkor az
    alakú differenciálegyenletet másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletnek nevezzük.
  • Karakterisztikus egyenlet. Az másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet karakterisztikus egyenlete a
    másodfokú egyenlet.
Megjegyzés: Az másodrendű állandó együtthatós homogén lineáris differenciálegyenlet megoldásait keressük alakban. Ha a keresett függvényt behelyettesítjük az egyenletbe, akkor
egyenletet kapjuk. A baloldalon szereplő szorzat csak úgy lehet nulla, ha az első tényezője nulla. Így kapjuk -ra a másodfokú un. karakterisztikus egyenletet.
Tétel:Az homogén egyenlet alaprendszere.
  • Ha és a karakterisztikus egyenlet két különböző valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
    é
  • Ha a karakterisztikus egyenlet kétszeres valós gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
    é
  • Ha a karakterisztikus egyenlet egy komplex gyöke, akkor a homogén egyenlet alaprendszere:
    é
Jegyezzük meg, hogy a harmadik esetben a karakterisztikus egyenlet komplex gyökei egymás konjugáltjai. Ezért a két komplex gyök ugyanazt az alaprendszert szolgáltatja.
Tétel: Az másodrendű állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását általában (nem mindig) megkaphatjuk az un. próbafüggvény módszer segítségével, azaz a megoldást speciális alakú függvények közt keressük. A leggyakoribb esetek:
  • ha egy -ed fokú polinom, akkor -t is ilyen alakban keressük;
  • ha , akkor ;
  • ha és nem gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor ;
  • ha és egyszeres gyöke a karakterisztikus egyenletnek, akkor ;
  • ha kétszeres, akkor ;
Tétel:A harmonikus rezgőmozgás. Tegyük fel hogy az egyenesen mozgó tömegű pontszerű testre minden pillanatban az origótól való távolsággal arányos és a mozgás irányával ellentétes irányú erő hat, például egy rugóra függesztett test mozog így, ha az erő a gravitációs erő. Ekkor a időtől függő harmonikus rezgőmozgást leíró egyenlet
ahol az függvény idő szerinti második deriváltjának egy, a fizikában gyakori jelölése, pedig az un. rugóállandó. Az egyenlet általános megoldása
ahol a körfrekvencia, a rezgés amplitúdója, pedig a fázisszöge. A harmonikus rezgőmozgás periódusidejét jelöli.

Az alábbi illusztrációk egy rugóra függesztett test mozogását mutatják, ha és .
bmkFigs/anim/hrezgo.gif -- not found

bmkFigs/anim/hrezgo1.gif -- not found

24.3. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek

Egy pont mozgását a legegyszerűbb esetben a pillanatnyi sebesség és hely közötti összefüggés, egy lineáris differenciálegyenlet írja le. De egy pont általában a térben mozog, nem pedig egy egyenesen. Ezért pályáját három függvény, a koordinátafüggvények írják le. És persze a pillanatnyi sebesség is vektorértékű. Ez indokolja, hogy szimultán vizsgáljunk differenciálegyenleteket azaz differenciálegyenlet rendszereket.
Definíció:
  • Az -dimenziós görbe. Jelöljön egy egy változós vektor értékű leképezést. Egy ilyen leképezést dimenziós görbének nevezünk. Ennek értéke koordináta függvényekkel leírva:
    Ha most jelöli az -edik koordináta függvény deriváltját, akkor a görbe deriváltja koordinátákkal felírva:
  • Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet rendszer. Legyen egy -es mátrix, pedig egy dimenziós görbe. Ekkor az
    alakú egyenletet állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet rendszernek nevezzük. Ha itt azonosan nulla, akkor a rendszer homogén, egyébként inhomogén.
  • Alaprendszer. Az homogén egyenletrendszer megoldásaiból álló vektortér egy tetszőleges bázisát az egyenletrendszer alaprendszerének nevezzük.
Tétel:Lineáris differenciálegyenlet rendszer megoldása.
  • Ha egy -es mátrix, akkor az halmaz, azaz a homogén egyenletrendszer megoldásai lineáris vektorteret alkotnak az összeadásra és a valós számmal való szorzásra nézve. Ennek a vektortérnek a dimenziója éppen .
  • Ha az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere, akkor az
    alakú görbék a homogén egyenletrendszer összes megoldását adják meg.
  • Ha az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere, pedig az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása, akkor az inhomogén differenciálegyenlet rendszer összes megoldása az
    alakú függvények.
  • Tegyük fel, hogy az -es mátrixnak van darab sajátvektora (nem feltétlenül különböző) sajátértékkel úgy, hogy a sajátvektorok bázist alkotnak -ben. Ez például szimmetrikus mátrix esetén mindig igaz. Ekkor az homogén egyenletrendszer egy alaprendszere

24.4. Feladatok

Oldjuk meg a következő szétválasztható változójú (szeparálható) differenciálegyenleteket:
A kemencéből kivett kenyér hőmérséklete 20 perc alatt 100 °C·ról 60 °C-ra csökken. A levegő hőmérséklete 25 °C. A hűtés kezdetétől számítva mennyi idő alatt csökken a kenyér hőmérséklete 30 °C-ra?
Egy térfogatú tartályban víz van. A tartály alján levő nyíláson keresztül liter/perc sebességgel folyik ki a tartályban levő folyadék, miközben a tartály feletti csapból liter/perc sebességgel töménységű sóoldat folyik a tartályba, ahol , és ott azonnal el is keveredik. Határozzuk meg a tartályban levő sóoldat töménységét az idő függvényében.
Adott egy oldat, mely etil-acetátot és nátrium-hidroxidot tartalmaz. A két anyag között az alábbi egyensúlyra vezető reakció megy végbe:
a reakciótermékek: nátrium-acetát és etil-alkohol. A kiindulási anyagok kezdeti koncentrációja:
áá
Az etil-acetát koncentrációja perc alatt -kal csökken. A kémiai egyenletből látható, hogy a reakcióban az anyagok 1:1 arányban vesznek részt. Ha jelöli a időpontig a reakcióban résztvevő etil-acetát illetve nátrium-hidroxid anyagmennyiségét, pedig a reakció egyensúlyi-állandója, akkor a folyamatot a
differenciálegyenlet írja le. Mennyi idő alatt csökken a koncentráció -kal?
Egy 300 literes tartály alját só és (valamilyen) nem oldódó anyag keverékével fedik be. Tegyük fel, hogy a só oldódási sebessége arányos az adott pillanatbeli koncentráció és a telített oldat (3 kg vízben l kg só) koncentrációjának különbségével, és hogy a tiszta víz adott mennyisége 1/3 kg sót l perc alatt old fel. Számítsuk ki, mennyi sót tartalmaz az oldat l óra múlva.
Az ember 1 perc alatt átlag 18·szor lélegzik. Mindannyiszor 2000 cm levegőt lehel ki, amely -t tartalmaz. Hány százalék széndioxidot tartalmaz fél óra elteltével az a 400 m térfogatú előadóterem, amelyben 50 személy tartózkodik, ha a szellőzőberendezések l perc alatt 40 m friss levegőt szállítanak. (A friss levegő ·t tartalmaz).
Egy m befogadóképességű tanterembe a szellőzőberendezések 1 perc alatt m friss levegőt szállítanak, amely ·t tartalmaz. Reggel 9 órakor bejönnek a helyiségbe a diákok és 30 perc alatt a levegő tartalma -ra emelkedik. Hány százalék várható a levegőben du. 2 órára?
Melyek azok a görbék, amelyeknél az érintési pont felezi az érintőnek a koordináta-tengelyek közti darabját?
Melyek azok a görbék, amelyekre minden pontjában húzott érintő átmegy a ponton?
Határozzuk meg azokat a görbéket, amelyekre a következő állítás igaz: a görbe tetszőleges pontjának az origótól mért távolsága ugyanakkora, mint az a szakasz, amit a pontban a görbéhez húzott érintő az y tengelyből lemetsz.
A rezgőmozgást végző tömegű testre egy, a sebességgel arányos fékező erő hat (csillapított rezgőmozgás). Ilyen csillapítást végez például az autó kerekén a lengéscsillapító. Ekkor a mozgás differenciálegyenlete ( a rugóállandó, a csillapítási tényező):
Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét.
Felrajzoltunk egy megoldást gyenge csillapítás esetén:
bmkFigs/anim/csillapitott.gif -- not found

Most az tömegű testre a rugóerőn kívül egy harmonikus kényszererő is hat (kényszerrezgés). Ilyen mozgást és az ezzel fellépő rezonanciát tud okozni például a szél egy hídon. A kényszererő nagyságát egy alakú függvény írja le, így a (csillapítatlan) kényszerrezgés differenciálegyenlete:
Keressük meg az egyenlet megoldásait és vizsgáljuk meg a megoldások menetét.
Felrajzoltunk egy megoldást amikor a sajátfrekvencia és a kényszerfrekvencia megegyezik:
bmkFigs/anim/kenyszer.gif -- not found

Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszereket:
Valamely anyag felbomlik két anyagra: -re és -ra. Az egyes anyagok keletkezésének sebessége arányos a még fel nem bomlott anyag mennyiségével. Legyen és a , illetve a anyagnak a időpontig keletkezett mennyisége. Határozzuk meg ezeknek a változási szabályát, ha tudjuk, hogy a kezdeti pillanatban , órával később pedig , ahol az anyag kezdeti mennyisége.